Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Região sombreada: faixa vertical dentro do círculo

Gabarito: letra A. A região sombreada é a interseção da faixa vertical definida por $|x| \le 1$ com o interior do círculo de raio 2 centrado na origem, dado por $x^2 + y^2 < 4$ — a alternativa A é a única que combina exatamente essas duas condições.

A questão pede para traduzir uma figura geométrica em uma dupla de inequações. A figura mostra uma faixa vertical (entre as retas $x = -1$ e $x = 1$) que é preenchida apenas dentro de um círculo. Vamos decompor a figura em duas partes: a faixa vertical e o círculo.

A faixa vertical é o conjunto de pontos cuja coordenada $x$ está entre $-1$ e $1$, ou seja, $-1 \le x \le 1$. Isso é equivalente a $|x| \le 1$. O círculo, por sua vez, tem centro na origem e raio 2. A equação de uma circunferência com centro na origem e raio $r$ é $x^2 + y^2 = r^2$. Como o raio é 2, a equação é $x^2 + y^2 = 4$. A região sombreada é o interior do círculo, ou seja, os pontos cuja distância à origem é menor que 2, o que se escreve como $x^2 + y^2 < 4$.

A região sombreada é exatamente a interseção dessas duas condições: o ponto precisa estar dentro da faixa vertical e dentro do círculo. Portanto, a representação correta é $|x| \le 1$ e $x^2 + y^2 < 4$.

A pegadinha da questão está em dois pontos: primeiro, confundir o sinal da desigualdade do círculo (se a borda está incluída ou não); segundo, inverter a condição da faixa vertical (usar $|x| \ge 1$ em vez de $|x| \le 1$). A figura mostra a borda do círculo tracejada, indicando que ela não faz parte da região, por isso a desigualdade é estrita ($<$). Já as retas verticais são contínuas, indicando que a borda da faixa está incluída, por isso a desigualdade é não estrita ($\le$).

Guarde esses dois critérios: o sinal da desigualdade (estrito ou não) e a direção da condição do módulo ($\le$ ou $\ge$). É exatamente nesses dois pontos que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa representa corretamente a região: $|x| \le 1$ (faixa vertical entre $x = -1$ e $x = 1$, incluindo as bordas) e $x^2 + y^2 < 4$ (interior do círculo de raio 2, excluindo a borda). A combinação dessas duas condições descreve exatamente a área sombreada na figura.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O erro está no raio do círculo: $x^2 + y^2 \le 2$ representa um círculo de raio $\sqrt{2}$, não de raio 2. A figura mostra um círculo de raio 2, cuja equação é $x^2 + y^2 = 4$. Além disso, a desigualdade $\le$ incluiria a borda do círculo, o que não corresponde à figura (borda tracejada).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O erro está na desigualdade do círculo: $x^2 + y^2 \le 4$ inclui a borda do círculo, mas a figura mostra a borda tracejada, indicando que ela não faz parte da região. A condição correta é $x^2 + y^2 < 4$ (interior, sem a borda).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa tem dois erros: primeiro, usa $|x| \ge 1$, que representa a região fora da faixa vertical (à esquerda de $x = -1$ e à direita de $x = 1$), o oposto do que a figura mostra. Segundo, usa $x^2 + y^2 < 2$, que representa um círculo de raio $\sqrt{2}$, não de raio 2.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O erro está na condição do módulo: $|x| \ge 1$ representa a região fora da faixa vertical, enquanto a figura mostra a região dentro da faixa ($|x| \le 1$). A condição do círculo ($x^2 + y^2 < 4$) está correta, mas a da faixa está invertida.

Gabarito: letra A