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Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2024

MatemáticaFunções reais de variável real (cálculo diferencial e integral)
Código
fg164324
Banca
FGV
Órgão
Pref Vitória
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Considere a função f:\mathbb{R} - \{2\sqrt{2}\}→\rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=x3−22x−2\frac{x^3-2\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}.   Assim, o lim_{x→\rightarrow 2\sqrt{2}}f(x) é
  1. A0.
  2. B2.
  3. C6.
  4. D8.
  5. E12.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 6 — alternativa C.

A ideia por trás

O limite de uma função em um ponto descreve o valor que a função se aproxima quando a variável se aproxima desse ponto, sem necessariamente atingi-lo. Quando a função não está definida no ponto, o limite ainda pode existir se os valores ao redor se aproximarem de um mesmo número. No caso de funções racionais, é comum aparecer uma indeterminação do tipo 0/0, que não é um valor real, mas um sinal de que a expressão pode ser simplificada.

A indeterminação 0/0 ocorre quando tanto o numerador quanto o denominador se anulam no ponto. Para resolvê-la, usamos fatoração: se o numerador pode ser escrito como um produto que inclui o denominador, podemos cancelar o fator comum e obter uma expressão mais simples, que é válida para todos os pontos exceto o que causa a indeterminação. O limite dessa expressão simplificada é o limite procurado, pois o comportamento nas proximidades é o mesmo.

Esta questão cobra exatamente essa técnica: reconhecer que o numerador é uma diferença de cubos, fatorá-lo, cancelar o termo (x - √2) e então calcular o limite por substituição direta.

O que a questão dá

  • função f(x) = (x³ - 2√2)/(x - √2)

  • domínio: x ≠ √2

  • ponto de interesse: x → √2

O que queremos: o limite de f(x) quando x tende a √2

Passo 1 — Reconhecer a indeterminação

Antes de qualquer conta, precisamos saber se a substituição direta funciona. Se der um número, o limite é esse número; se der 0/0, precisamos simplificar. Aqui, substituindo x = √2, o numerador vira (√2)³ - 2√2 = 2√2 - 2√2 = 0 e o denominador vira √2 - √2 = 0, então temos 0/0, que é indeterminado.

Por que esta fórmula: Não há fórmula ainda; é apenas a verificação inicial que decide o caminho.

0 /0(indeterminac\ca~o)\boxed{0\ /0 (\text{indetermina}çã\text{o})}
NÃO CAIA NESSA!

Concluir que o limite não existe ou é zero por causa do 0/0 — isso é um erro conceitual; 0/0 é apenas um sinal de que precisamos simplificar.

Passo 2 — Fatorar o numerador como diferença de cubos

Como temos 0/0, precisamos reescrever o numerador de forma que apareça o fator (x - √2), que é o mesmo do denominador, para poder cancelá-lo. O numerador x³ - 2√2 é exatamente x³ - (√2)³, pois (√2)³ = 2√2. Isso é uma diferença de cubos, que tem fatoração conhecida.

Por que esta fórmula: A diferença de cubos a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) é a identidade que permite fatorar. Aqui a = x e b = √2.

x3−(2)3=(x−2)(x2+x2+(2)2)x^{3} - (\sqrt{2})^{3} = (x - \sqrt{2})(x^{2} + x\sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2})

De onde vem cada valor: xx = enunciado: variável da função · 2\sqrt{2} = enunciado: raiz quadrada de 2

x3−22=(x−2)(x2+x2+2)x^{3} - 2\sqrt{2} = (x - \sqrt{2})(x^{2} + x\sqrt{2} + 2)

numerador fatorado

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o termo do meio (x√2) ou o quadrado de √2, que é 2, e errar a fatoração.

Passo 3 — Cancelar o fator comum

Com o numerador fatorado, a função fica com (x - √2) multiplicando um polinômio no numerador e (x - √2) no denominador. Como x ≠ √2 no domínio, podemos dividir ambos por (x - √2), simplificando a expressão.

Por que esta fórmula: Cancelamento de fatores iguais em frações: se a ≠ 0, então (a·b)/a = b. Aqui a = x - √2, que é diferente de zero para todo x no domínio.

f(x)=(x−2)(x2+x2+2)x−2=x2+x2+2f(x) = \frac{(x - \sqrt{2})(x^{2} + x\sqrt{2} + 2)}{x - \sqrt{2}} = x^{2} + x\sqrt{2} + 2

De onde vem cada valor: x−2x - \sqrt{2} = passo 2: fator comum · x2+x2+2x^{2} + x\sqrt{2} + 2 = passo 2: segundo fator

f(x)=x2+x2+2f(x) = x^{2} + x\sqrt{2} + 2

expressão simplificada

NÃO CAIA NESSA!

Cancelar sem perceber que isso só é válido para x ≠ √2, mas como o limite não avalia o ponto, tudo bem.

Passo 4 — Calcular o limite por substituição direta

A expressão simplificada é um polinômio, que é contínuo em todos os pontos, então o limite quando x tende a √2 é simplesmente o valor da função nesse ponto. Substituímos x = √2 na expressão simplificada.

Por que esta fórmula: Para polinômios, o limite em um ponto é o valor da função nesse ponto, pois são contínuos.

lim⁡x→2(x2+x2+2)=(2)2+2⋅2+2\lim_{x \to \sqrt{2}} (x^{2} + x\sqrt{2} + 2) = (\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 2

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 3: termo quadrático · x2x\sqrt{2} = passo 3: termo linear · 22 = passo 3: termo constante

=2+2+2=6= 2 + 2 + 2 = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o cálculo de (√2)² = 2 ou √2·√2 = 2, e obter um valor diferente.

Resposta: 6 — alternativa C

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