Questão de Matemática — Progressão Geométrica — FGV 2024

Progressão Geométrica: razão a partir de termo e soma

Gabarito: letra C — a razão da PG é 7/6. A resolução usa a fórmula do termo geral ($a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$) e a fórmula da soma dos $n$ primeiros termos ($S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$), montando um sistema com as duas informações do enunciado.

Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante $q$, chamada razão. Por exemplo, em $(3, 6, 12, 24, \dots)$, a razão é $q = 2$. O termo geral é $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, e a soma dos $n$ primeiros termos é $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ (para $q \neq 1$). Essas duas fórmulas são a base para resolver qualquer problema que relacione termos e somas.

No problema, temos duas informações:

1. $a_{16} - a_1 = 60$

2. $S_{15} = 360$

Usando a fórmula do termo geral, $a_{16} = a_1 \cdot q^{15}$. Então a primeira equação fica:

$a_1 \cdot q^{15} - a_1 = 60 \Rightarrow a_1 (q^{15} - 1) = 60$

Usando a fórmula da soma, a segunda equação fica:

$S_{15} = a_1 \cdot \frac{q^{15} - 1}{q - 1} = 360$

Agora, observe que o termo $a_1 (q^{15} - 1)$ aparece nas duas equações. Na primeira, ele vale 60. Na segunda, ele está dividido por $q - 1$. Podemos substituir:

$\frac{a_1 (q^{15} - 1)}{q - 1} = 360 \Rightarrow \frac{60}{q - 1} = 360$

Resolvendo:

$60 = 360 (q - 1) \Rightarrow q - 1 = \frac{60}{360} = \frac{1}{6} \Rightarrow q = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

Portanto, a razão é $\frac{7}{6}$, que corresponde à alternativa C.

A chave da questão está em perceber que o fator $a_1 (q^{15} - 1)$ é comum às duas equações, permitindo eliminar $a_1$ sem precisar calculá-lo. Esse tipo de simplificação é frequente em questões de PG que fornecem uma diferença de termos e uma soma.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{1}{6}$ é o valor de $q - 1$, não de $q$. O candidato que resolve a equação $60 = 360(q-1)$ e encontra $q - 1 = \frac{1}{6}$ pode marcar esta alternativa sem somar 1. O correto é $q = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{6}{7}$ é o inverso de $\frac{7}{6}$. Pode surgir de um erro ao inverter a fração na resolução, por exemplo, se o candidato escrever $q - 1 = \frac{360}{60} = 6$ e depois $q = 7$, ou se confundir a razão com o inverso do resultado correto.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $q = \frac{7}{6}$. A substituição de $a_1 (q^{15} - 1) = 60$ na fórmula da soma $S_{15} = a_1 \cdot \frac{q^{15} - 1}{q - 1} = 360$ leva diretamente a $q - 1 = \frac{1}{6}$, e portanto $q = \frac{7}{6}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{4}{3}$ é um valor que não decorre dos cálculos. Pode ser resultado de um erro aritmético, como calcular $q - 1 = \frac{360}{60} = 6$ e depois $q = 7$ (que não está nas opções), ou de uma manipulação incorreta da equação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{3}{2}$ também não é suportado pelos dados. É um distrator que pode atrair quem erra na montagem do sistema, por exemplo, usando $a_{16} - a_1 = 60$ como $a_1 q^{15} = 60$ (sem subtrair $a_1$) e depois combinando com a soma de forma equivocada.

Gabarito: letra C