Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a entre 1 e 2 horas (nenhuma alternativa corresponde; o gabarito B está incorreto).

A ideia por trás

Uma função exponencial tem a forma f(x) = a · b^x, onde a base b é um número positivo diferente de 1. Ela cresce (ou decresce) muito rapidamente: cada aumento de 1 na variável multiplica o valor por b. No mundo real, modela fenômenos que se multiplicam, como a propagação de um vídeo: quanto mais pessoas veem, mais compartilham, e o alcance dispara.

Na expressão p(t) = 1000 · 32^t, o 1000 é o valor inicial (em t = 0) e 32 é o fator de multiplicação a cada hora: a cada hora que passa, o número de visualizações é multiplicado por 32. Isso significa que o crescimento é explosivo — em poucas horas o número já é gigantesco. Para saber quando se atinge um certo valor, igualamos a função a esse valor e resolvemos a equação exponencial, muitas vezes comparando potências da mesma base.

A questão pede o intervalo de tempo em que p(t) atinge 1 milhão. Vamos igualar a função a 1.000.000 e, em seguida, testar valores inteiros de t para ver entre quais horas o valor ultrapassa a meta.

O que a questão dá

• função de alcance: p(t) = 1000 · 32^t

• tempo t em horas

• meta: 1.000.000 de visualizações

O que queremos: o intervalo de tempo em que o vídeo alcança 1 milhão de visualizações

Passo 1 — Igualar a função ao valor alvo

Queremos saber quando o alcance chega a 1 milhão, então escrevemos a equação que representa esse momento. Isso transforma o problema em uma equação exponencial que podemos resolver.

Por que esta fórmula: A função dada é p(t) = 1000 · 32^t. Igualamos p(t) a 1.000.000 para encontrar o t que satisfaz a condição.

De onde vem cada valor: $1000$ = enunciado: coeficiente da função · $32^t$ = enunciado: parte exponencial da função · $1.000.000$ = enunciado: meta de visualizações

Passo 2 — Isolar a potência de 32

Para comparar com potências de 32, precisamos que a potência fique sozinha de um lado da equação. Dividir por 1000 é o passo algébrico que faz isso.

Por que esta fórmula: Dividindo ambos os lados por 1000, obtemos 32^t = 1000. Isso é válido porque a divisão é feita dos dois lados, mantendo a igualdade.

De onde vem cada valor: $1.000.000$ = passo 1 · $1000$ = passo 1

Passo 3 — Testar valores inteiros de t

Como 1000 não é potência exata de 32, não dá para achar t exato sem logaritmo. Mas as alternativas são intervalos de horas inteiras, então basta calcular 32^t para t = 1, 2, 3, 4 e ver entre quais o valor 1000 fica.

Por que esta fórmula: Calculamos 32^t para t inteiro e comparamos com 1000. Se 32^t < 1000 e 32^(t+1) > 1000, então t está entre esses dois valores.

De onde vem cada valor: $32$ = enunciado: base da exponencial · $t$ = enunciado: tempo em horas

32^2 = 1024 > 1000, 32^1 = 32 < 1000

Passo 4 — Concluir o intervalo de tempo

Com os valores calculados, vemos que 32^1 = 32 (menor que 1000) e 32^2 = 1024 (maior que 1000). Isso significa que a potência cruza o valor 1000 entre t = 1 e t = 2.

Por que esta fórmula: Como a função é crescente (base 32 > 1), se 32^1 < 1000 e 32^2 > 1000, então existe um t entre 1 e 2 que satisfaz 32^t = 1000.

Resposta: entre 1 e 2 horas (nenhuma alternativa corresponde; o gabarito B está incorreto)