Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a f(0) = -1, alternativa D.

A ideia por trás

Uma função quadrática é uma regra que associa a cada número x um valor y = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes. O gráfico dela é uma parábola. O termo c é o valor da função quando x = 0, pois todos os termos com x se anulam; é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

O sistema linear dado é um conjunto de três equações que devem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Cada equação representa o valor da função em um ponto específico: a primeira diz que f(1) = 0, a segunda que f(2) = 7 e a terceira que f(3) = 20. Resolver o sistema é encontrar os valores de a, b e c que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para isso, podemos combinar as equações para eliminar incógnitas, reduzindo o sistema a equações mais simples.

Esta questão cobra a resolução de um sistema linear para descobrir os coeficientes da função quadrática e, em seguida, a aplicação direta de que f(0) = c. O desafio é não confundir o valor de c com outros coeficientes.

O que a questão dá

• sistema: a+b+c=0, 4a+2b+c=7, 9a+3b+c=20

• f(x) = ax² + bx + c

• a, b, c são números inteiros

O que queremos: o valor de f(0)

Passo 1 — Eliminar c entre a primeira e a segunda equação

Para resolver o sistema, precisamos reduzir o número de incógnitas. Subtraindo a primeira equação da segunda, o termo c se cancela, sobrando uma equação com apenas a e b.

Por que esta fórmula: Subtrair equações é uma forma de eliminar uma incógnita quando os coeficientes dela são iguais. Aqui, ambas têm c com coeficiente 1, então a subtração zera o c.

De onde vem cada valor: $4a + 2b + c$ = enunciado: segunda equação · $a + b + c$ = enunciado: primeira equação · $7$ = enunciado: lado direito da segunda equação · $0$ = enunciado: lado direito da primeira equação

Passo 2 — Eliminar c entre a segunda e a terceira equação

Precisamos de outra equação com apenas a e b para formar um sistema de duas equações e duas incógnitas. Subtraindo a segunda da terceira, o c some novamente.

Por que esta fórmula: Mesmo raciocínio do passo anterior: os coeficientes de c são iguais (1), então a subtração elimina c.

De onde vem cada valor: $9a + 3b + c$ = enunciado: terceira equação · $4a + 2b + c$ = enunciado: segunda equação · $20$ = enunciado: lado direito da terceira equação · $7$ = enunciado: lado direito da segunda equação

Passo 3 — Eliminar b entre as duas novas equações

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas: 3a + b = 7 e 5a + b = 13. Subtraindo uma da outra, eliminamos b e encontramos a.

Por que esta fórmula: Os coeficientes de b são iguais (1), então a subtração zera b, sobrando uma equação só com a.

De onde vem cada valor: $5a + b$ = passo 2: 5a + b = 13 · $3a + b$ = passo 1: 3a + b = 7 · $13$ = passo 2: lado direito · $7$ = passo 1: lado direito

Passo 4 — Substituir a para achar b

Com a = 3, usamos uma das equações com a e b para encontrar b. Escolhemos a mais simples: 3a + b = 7.

Por que esta fórmula: Substituir o valor conhecido em uma equação transforma-a em uma equação de primeiro grau com uma incógnita, que resolvemos isolando b.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 3: a = 3 · $b$ = incógnita · $7$ = passo 1: lado direito

Passo 5 — Substituir a e b para achar c

Com a e b conhecidos, usamos a primeira equação original para encontrar c. Essa equação é a mais simples porque tem c com coeficiente 1.

Por que esta fórmula: Substituímos os valores de a e b na equação a + b + c = 0, restando apenas c como incógnita.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 3: a = 3 · $-2$ = passo 4: b = -2 · $c$ = incógnita · $0$ = enunciado: primeira equação

Passo 6 — Calcular f(0) usando c

A pergunta final é f(0). Na função f(x) = ax² + bx + c, ao substituir x por 0, os termos com x² e x se anulam, sobrando apenas c. Portanto, f(0) = c.

Por que esta fórmula: f(0) = a·0² + b·0 + c = c. Não é preciso usar a e b, pois eles multiplicam zero.

De onde vem cada valor: $c$ = passo 5: c = -1

Resposta: f(0) = -1, alternativa D