Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2024

Cálculo de área sob curva: integração definida

Gabarito: letra D — a área da região limitada pela curva $y = \frac{4x}{\sqrt{1+x^2}}$, pelo eixo $x$ ($y=0$) e pela reta $x=1$ é $4(\sqrt{2}-1)$. Isso se obtém calculando a integral definida $\int_0^1 \frac{4x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx$, que resulta em $4(\sqrt{2}-1)$.

A questão pede a área sob uma curva, um conceito central do Cálculo Diferencial e Integral. A área entre uma curva $y=f(x)$, o eixo $x$ e as retas verticais $x=a$ e $x=b$ (com $f(x) \geq 0$ no intervalo) é dada pela integral definida $\int_a^b f(x) \, dx$. Aqui, a curva é $y = \frac{4x}{\sqrt{1+x^2}}$, que é positiva para $x > 0$. A região é limitada por $y=0$ (eixo x), $x=1$ e a própria curva. Como a curva cruza o eixo x em $x=0$ (pois $y=0$ quando $x=0$), o intervalo de integração é de $0$ a $1$.

Para resolver a integral, usamos a substituição $u = 1+x^2$. Então $du = 2x \, dx$, ou seja, $x \, dx = \frac{du}{2}$. Quando $x=0$, $u=1$; quando $x=1$, $u=2$. A integral fica:

Calculando a primitiva: $2 \cdot [2u^{1/2}]_1^2 = 4[\sqrt{u}]_1^2 = 4(\sqrt{2} - \sqrt{1}) = 4(\sqrt{2} - 1)$.

A pegadinha da banca está em esquecer o fator 4 que multiplica a função, ou em errar a substituição, o que levaria a resultados como $\sqrt{2}-1$ ou $2(\sqrt{2}-1)$. O candidato que não domina a técnica de integração por substituição pode tentar integrar diretamente e errar o coeficiente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $1 - \sqrt{2}$ é negativo (pois $\sqrt{2} \approx 1,414$), e uma área não pode ser negativa. Esse valor surgiria de um erro de sinal ou de uma integração incorreta, como inverter os limites de integração ou errar o sinal da primitiva.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\sqrt{2} - 1$ é o resultado da integral $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx$, ou seja, sem o fator 4. O candidato que esquece de multiplicar pelo coeficiente 4 da função original chega a esse valor. É um distrator clássico: a integral da parte $x/\sqrt{1+x^2}$ é $\sqrt{2}-1$, mas a função dada tem um 4 multiplicando.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $2(\sqrt{2} - 1)$ é o dobro de $\sqrt{2}-1$. Isso ocorreria se o candidato multiplicasse o resultado da integral de $x/\sqrt{1+x^2}$ por 2 em vez de 4, ou se errasse a constante na substituição (por exemplo, usando $du = x \, dx$ em vez de $du = 2x \, dx$).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a integral definida $\int_0^1 \frac{4x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx$ é calculada por substituição $u = 1+x^2$, resultando em $4(\sqrt{2} - 1)$. Este é o valor exato da área da região limitada pela curva, pelo eixo x e pela reta $x=1$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $4(1 - \sqrt{2})$ é o negativo da resposta correta. Isso ocorre se o candidato inverter a ordem dos limites de integração (integrando de 1 a 0) ou errar o sinal na avaliação da primitiva. Como $1 - \sqrt{2}$ é negativo, o resultado também seria negativo, o que é impossível para uma área.

Gabarito: letra D