Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2024

Geometria Espacial: razão entre volumes de pirâmides no cubo

Gabarito: letra A — a razão entre o volume da pirâmide ABCDE e o volume da pirâmide ACDF é 2. Isso ocorre porque a pirâmide ABCDE tem como base uma face do cubo (área $a^2$) e altura $a$, enquanto a pirâmide ACDF tem como base um triângulo retângulo (metade de uma face, área $\frac{a^2}{2}$) e altura $a$; ao aplicar a fórmula do volume da pirâmide ($V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h$), a razão entre os volumes resulta em $\frac{a^3/3}{a^3/6} = 2$.

O problema envolve o cálculo de volumes de pirâmides formadas a partir de um cubo de aresta $a$. A chave está em identificar corretamente a base e a altura de cada pirâmide. A pirâmide ABCDE tem como base a face ABCD do cubo (um quadrado de lado $a$) e como vértice o ponto E, que está a uma distância $a$ dessa face (a altura da pirâmide é a aresta do cubo). Já a pirâmide ACDF tem como base o triângulo ACD (formado pela diagonal da face ABCD) e como vértice o ponto F, que também está a uma distância $a$ da face ABCD. A base ACD é um triângulo retângulo isósceles com catetos iguais a $a$, cuja área é $\frac{a^2}{2}$.

A fórmula do volume de uma pirâmide é $V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h$, onde $A_b$ é a área da base e $h$ é a altura. Aplicando essa fórmula às duas pirâmides, temos:

• $V_{ABCDE} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}$

• $V_{ACDF} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6}$

A razão pedida é $\frac{V_{ABCDE}}{V_{ACDF}} = \frac{a^3/3}{a^3/6} = \frac{6}{3} = 2$.

A pegadinha da questão está em identificar corretamente a base de cada pirâmide. Muitos candidatos podem confundir a base da pirâmide ACDF, pensando que ela é a face ADFC (um retângulo), quando na verdade é o triângulo ACD. A base é sempre a face que não contém o vértice oposto; no caso, o vértice F está fora do plano ACD, e a base é o triângulo formado pelos outros três pontos.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A razão entre os volumes é 2, como demonstrado: $V_{ABCDE} = \frac{a^3}{3}$ e $V_{ACDF} = \frac{a^3}{6}$, logo $\frac{V_{ABCDE}}{V_{ACDF}} = 2$. A alternativa está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A fração $\frac{3}{2}$ seria o resultado se a razão fosse entre o volume da pirâmide ACDF e o volume da pirâmide ABCDE (invertida), mas o enunciado pede a razão entre ABCDE e ACDF. Além disso, o valor correto é 2, não 1,5.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A razão 1 ocorreria se os volumes fossem iguais, o que não é o caso. A pirâmide ABCDE tem o dobro do volume da pirâmide ACDF, pois sua base tem o dobro da área.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A fração $\frac{1}{2}$ seria o resultado se a razão fosse entre o volume da pirâmide ACDF e o volume da pirâmide ABCDE, mas o enunciado pede a razão inversa. O valor correto é 2.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A fração $\frac{1}{3}$ não corresponde a nenhuma razão direta entre os volumes das duas pirâmides. O volume da pirâmide ABCDE é o dobro do volume da pirâmide ACDF, não o triplo.

Gabarito: letra A