Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — FGV 2024

Lei dos Cossenos e tangente do maior ângulo

Gabarito: letra E — a tangente do maior ângulo interno do triângulo de lados 4, 6 e 8 é $\-\sqrt{15}$. O maior ângulo é o oposto ao maior lado (8), e pela Lei dos Cossenos encontramos $\cos \theta = -\frac{1}{4}$; usando a relação fundamental, obtemos $\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$ e, portanto, $\tan \theta = -\sqrt{15}$.

O problema pede a tangente do maior ângulo interno de um triângulo escaleno. O primeiro passo é identificar qual é esse ângulo: em qualquer triângulo, o maior ângulo é sempre o oposto ao maior lado. Aqui, os lados são 4, 6 e 8, então o maior lado é 8, e o ângulo oposto a ele (vamos chamá-lo de $\theta$) é o que queremos.

Para encontrar a tangente de $\theta$, precisamos do seno e do cosseno desse ângulo. O cosseno sai diretamente da Lei dos Cossenos, que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com o cosseno de um de seus ângulos. Aplicando ao lado 8 (oposto a $\theta$), temos:

O cosseno negativo já nos diz que $\theta$ é um ângulo obtuso (entre 90° e 180°), o que é coerente, pois o triângulo é obtusângulo (o quadrado do maior lado, 64, é maior que a soma dos quadrados dos outros dois, 16 + 36 = 52).

Agora, com o cosseno, usamos a relação fundamental da trigonometria para achar o seno:

Como $\theta$ está no segundo quadrante, o seno é positivo. Finalmente, a tangente é a razão entre seno e cosseno:

A pegadinha clássica desta questão é esquecer que o ângulo é obtuso e, por isso, o cosseno e a tangente são negativos. Quem calcula apenas o valor absoluto cai nas alternativas positivas. Além disso, é comum o aluno aplicar a Lei dos Cossenos no lado errado (por exemplo, no lado 6), obtendo um ângulo agudo e uma tangente positiva — mas o enunciado pede explicitamente o maior ângulo, que é o oposto ao lado 8.

Guarde o roteiro: identificar o maior lado → aplicar a Lei dos Cossenos para achar o cosseno do ângulo oposto → usar a relação fundamental para o seno → calcular a tangente. É exatamente esse caminho que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\sqrt{15}$ é o valor do seno do ângulo (positivo), não da tangente. O aluno que calcula o seno e para por aí, ou que esquece de dividir pelo cosseno, marca esta opção. A tangente exige a razão $\frac{\sin}{\cos}$, e o cosseno aqui é negativo, o que muda o sinal do resultado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{4}{3}$ é um valor positivo, mas a tangente de um ângulo obtuso é sempre negativa. Além disso, esse número não corresponde a nenhuma razão direta dos lados do triângulo. Quem marca esta opção provavelmente calculou a tangente como se o ângulo fosse agudo, ignorando o sinal — ou confundiu com a razão entre dois lados (por exemplo, $\frac{8}{6}$ simplificado).

Alternativa C — ❌ Incorreta

$-\frac{\sqrt{15}}{16}$ tem o sinal correto (negativo), mas o denominador está errado. Esse valor surgiria se o aluno dividisse o seno ($\frac{\sqrt{15}}{4}$) por 4 em vez de dividir pelo cosseno ($-\frac{1}{4}$). A divisão por uma fração equivale a multiplicar pelo inverso, então o correto é $\frac{\sqrt{15}}{4} \times (-4) = -\sqrt{15}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$-\frac{4}{3}$ é negativo, mas não corresponde ao valor correto. Esse número poderia ser obtido se o aluno calculasse a tangente como $\frac{8}{6}$ (razão entre lados) e depois aplicasse o sinal negativo por ser ângulo obtuso — um raciocínio equivocado, pois a tangente não é uma razão direta entre lados, mas entre seno e cosseno.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$-\sqrt{15}$ é exatamente o valor da tangente do maior ângulo. O cálculo completo: pela Lei dos Cossenos, $\cos \theta = -\frac{1}{4}$; pela relação fundamental, $\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$; e $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\sqrt{15}$. O sinal negativo é obrigatório, pois o ângulo é obtuso (maior que 90°), e a tangente é negativa no segundo quadrante.

Gabarito: letra E