Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — FGV 2024

Função de segundo grau: raízes e média aritmética

Gabarito: letra B. A média aritmética das raízes da função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ é igual a $\frac{x_A + x_B}{2}$, pois, pelas relações de Girard, a soma das raízes é $-\frac{b}{a}$ e, portanto, a média é $-\frac{b}{2a}$, que é exatamente a abscissa do vértice da parábola. A questão conduz a esse resultado ao resolver a equação $f(x) = c$, obtendo as raízes $x_1 = 0$ e $x_2 = -\frac{b}{a}$, cuja média é $\frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{b}{2a}$.

A função quadrática, também chamada de função do segundo grau, é toda função da forma $f(x) = ax^2 + bx + c$, com $a, b, c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seu gráfico é uma parábola, e os zeros da função (ou raízes) são os valores de $x$ para os quais $f(x) = 0$, ou seja, os pontos onde a parábola intercepta o eixo das abscissas. Quando a função possui duas raízes reais e distintas, $x_A$ e $x_B$, elas podem ser encontradas pela fórmula de Bhaskara: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, onde $\Delta = b^2 - 4ac$.

As relações de Girard estabelecem uma conexão direta entre os coeficientes da equação e suas raízes, sem precisar resolvê-la. Para a equação $ax^2 + bx + c = 0$, com raízes $x_1$ e $x_2$, temos:

• Soma das raízes: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

• Produto das raízes: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Essas relações são extremamente úteis para resolver problemas que envolvem as raízes sem calculá-las individualmente. A partir da soma, podemos calcular a média aritmética das raízes: $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-b/a}{2} = -\frac{b}{2a}$. Esse valor tem um significado geométrico importante: é a abscissa do vértice da parábola ($x_v = -\frac{b}{2a}$), que representa o eixo de simetria da curva. Ou seja, a média das raízes é exatamente o ponto médio do segmento que une as raízes no eixo $x$.

No problema apresentado, a função é $f(x) = ax^2 + bx + c$, e o procedimento proposto resolve a equação $f(x) = c$. Isso significa encontrar os valores de $x$ para os quais a função assume o mesmo valor do coeficiente $c$. A resolução é feita da seguinte forma:

1. Iguala-se a função a $c$: $ax^2 + bx + c = c$.

2. Subtrai-se $c$ de ambos os lados: $ax^2 + bx = 0$.

3. Coloca-se $x$ em evidência: $x(ax + b) = 0$.

4. Para o produto ser zero, um dos fatores deve ser zero: $x = 0$ ou $ax + b = 0$.

5. Da segunda equação, obtém-se $x = -\frac{b}{a}$.

Portanto, as soluções são $x_1 = 0$ e $x_2 = -\frac{b}{a}$. A média aritmética desses dois valores é:

A questão, então, pede que se identifique a expressão que representa essa média. Como $x_A$ e $x_B$ são os zeros da função, a média deles é $\frac{x_A + x_B}{2}$. O resultado encontrado, $-\frac{b}{2a}$, é justamente essa média, o que torna a alternativa B a correta.

A pegadinha desta questão está em não perceber que o procedimento apresentado encontra as raízes da equação $f(x) = c$, e não da equação $f(x) = 0$. No entanto, como o coeficiente $c$ é cancelado, as raízes encontradas ($0$ e $-b/a$) são, na verdade, as mesmas raízes da função $f(x) = 0$ quando $c = 0$. Mas, mesmo que $c \neq 0$, a média das raízes de $f(x) = c$ é a mesma das raízes de $f(x) = 0$, pois a soma das raízes não depende de $c$. Isso ocorre porque a equação $f(x) = c$ é equivalente a $ax^2 + bx = 0$, cujas raízes são $0$ e $-b/a$, e a soma delas é $-b/a$, que é a mesma soma das raízes de $ax^2 + bx + c = 0$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa sugere que a média é $\frac{x_A + x_B}{4}$, ou seja, divide a soma das raízes por 4 em vez de 2. O erro está em aplicar um divisor incorreto. A média aritmética de dois números é a soma dividida por 2, não por 4. O valor correto é $\frac{x_A + x_B}{2}$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta exatamente a definição de média aritmética das duas raízes: $\frac{x_A + x_B}{2}$. Como demonstrado, esse valor é igual a $-\frac{b}{2a}$, que é a abscissa do vértice da parábola. A questão pede justamente essa expressão, e o procedimento apresentado confirma que $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{x_A + x_B}{2}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa sugere que a média é $x_A + x_B$, ou seja, a soma das raízes sem dividir por 2. Isso representa a soma, não a média. A média aritmética de dois valores é a soma dividida pela quantidade de valores, que é 2. Portanto, a expressão correta é $\frac{x_A + x_B}{2}$, e não $x_A + x_B$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa sugere que a média é $2(x_A + x_B)$, ou seja, o dobro da soma das raízes. Isso não corresponde à média aritmética, que é a soma dividida por 2. O fator 2 está aplicado de forma incorreta, multiplicando em vez de dividindo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa sugere que a média é $\frac{x_A \cdot x_B}{2}$, ou seja, a metade do produto das raízes. Isso confunde média aritmética com média geométrica (que seria $\sqrt{x_A \cdot x_B}$) e, além disso, utiliza o produto em vez da soma. A média aritmética é calculada com a soma dos valores, não com o produto.

Gabarito: letra B