Questão de Matemática — Números Reais (Propriedades e Operações; Intervalos) — FGV 2024

Radiciação: simplificação de radicais

Gabarito: letra C — $\sqrt{2} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2}$. A chave está em simplificar $\sqrt{8}$: como $8 = 4 \times 2$, temos $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. Somando com $\sqrt{2}$, obtemos $\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

A radiciação é a operação inversa da potenciação: extrair a raiz $n$-ésima de um número $a$ significa encontrar um número que, elevado a $n$, resulte em $a$. No caso da raiz quadrada, procuramos o número que, elevado ao quadrado, reproduz o radicando. Por exemplo, $\sqrt{9} = 3$, pois $3^2 = 9$.

Uma das propriedades mais úteis dos radicais é a que permite decompor o radicando em fatores para simplificar a expressão. Para $a, b \geq 0$, vale:

Essa propriedade é a ferramenta central desta questão. Ela nos permite "quebrar" $\sqrt{8}$ em $\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$. Como $\sqrt{4} = 2$ (pois $2^2 = 4$), a expressão se torna $2\sqrt{2}$.

Depois de simplificar, a soma $\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$ é possível porque ambos os termos são múltiplos do mesmo radical ($\sqrt{2}$). Somamos os coeficientes (os números que multiplicam o radical) e mantemos o radical: $1\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Isso é análogo a somar $x + 2x = 3x$ — o radical funciona como uma "variável" comum.

A pegadinha clássica desta questão é tentar somar os radicandos diretamente ($\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{10}$), o que é incorreto. A soma de radicais só pode ser feita quando os radicandos são iguais, e mesmo assim somamos apenas os coeficientes. A simplificação prévia é indispensável.

Guarde o passo a passo: fatore o radicando → extraia as raízes exatas → some os termos semelhantes. É exatamente esse critério que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é 4. Isso seria verdade se $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + \sqrt{8} = 4$, o que não ocorre. O erro está em não simplificar $\sqrt{8}$ e, possivelmente, confundir a soma com uma aproximação: $\sqrt{2} \approx 1,41$ e $\sqrt{8} \approx 2,83$, cuja soma é $\approx 4,24$, não 4. O valor exato é $3\sqrt{2} \approx 4,24$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é 8. Esse número seria obtido se alguém somasse os radicandos e os coeficientes de forma equivocada ($\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{10}$ e depois "arredondasse" para 8, ou confundisse com $2 + 8 = 10$). Não há operação válida que resulte em 8 a partir de $\sqrt{2} + \sqrt{8}$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta. A resolução completa:

1. Fatore o radicando: $8 = 4 \times 2$.

2. Aplique a propriedade: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

3. Some os termos semelhantes: $\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (1+2)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

O resultado $3\sqrt{2}$ é um número irracional, pois $\sqrt{2}$ é irracional e o produto de um racional não nulo por um irracional é irracional.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é $4\sqrt{8}$. Isso seria obtido se alguém somasse os coeficientes (1 + 3 = 4) e mantivesse o radical $\sqrt{8}$, mas o coeficiente 3 não existe — ele só apareceria se houvesse $3\sqrt{8}$ na expressão original. Além disso, o radical correto após a simplificação é $\sqrt{2}$, não $\sqrt{8}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é $\sqrt{10}$. Este é o erro mais comum: somar os radicandos diretamente ($2 + 8 = 10$) e manter o radical. Isso viola a regra de que só podemos somar radicais com o mesmo radicando, e mesmo assim somamos apenas os coeficientes. $\sqrt{2} + \sqrt{8} \neq \sqrt{10}$.

Gabarito: letra C