Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 8 dm — alternativa D.

A ideia por trás

A semelhança de triângulos é a ideia de que dois triângulos têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes: os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são proporcionais. Quando uma figura é cortada por uma diagonal, ela se divide em triângulos que, se tiverem os mesmos ângulos, guardam essa proporção — e é essa proporção que permite descobrir medidas desconhecidas.

Se dois triângulos são semelhantes, a razão entre dois lados correspondentes é constante: por exemplo, se um triângulo tem catetos 3 e 4 e outro semelhante tem cateto 6, o outro cateto será 8, porque a razão de escala é 2. Essa proporcionalidade vale para qualquer par de lados correspondentes, e é ela que usamos para achar o lado que falta.

Esta questão esconde a semelhança: a diagonal do quadrado original, que continua na figura após os recortes, divide a placa em dois triângulos retângulos semelhantes. Identificar esses triângulos e montar a proporção entre os lados correspondentes é o caminho para achar o lado do retângulo.

O que a questão dá

• lado do quadrado recortado = 12 dm

• comprimento do retângulo recortado = 27 dm

• placa original é um quadrado

O que queremos: o menor lado do retângulo recortado

Passo 1 — Desenhar a placa e marcar os triângulos

Antes de qualquer conta, precisamos enxergar a geometria da situação. A placa original é um quadrado; depois dos recortes, a diagonal que liga dois vértices opostos continua existindo e divide a figura em dois triângulos retângulos. Desenhar isso deixa claro quais lados correspondem a quais.

Passo 2 — Calcular o lado do quadrado original

Para montar a proporção de semelhança, precisamos do comprimento do cateto maior do triângulo maior, que é o lado do quadrado original. Esse lado é a soma dos lados dos dois recortes: o quadrado de 12 dm e o retângulo de comprimento 27 dm.

Por que esta fórmula: O quadrado original foi dividido em duas partes: o quadrado recortado e o retângulo recortado. O lado do quadrado original é a soma das dimensões dessas partes na direção do lado.

De onde vem cada valor: $12$ = enunciado: lado do quadrado recortado · $27$ = enunciado: comprimento do retângulo recortado

Passo 3 — Montar a proporção de semelhança

Com os lados correspondentes identificados, a semelhança garante que a razão entre eles é igual. Isso nos dá uma equação com uma incógnita, que é exatamente o que queremos descobrir.

Por que esta fórmula: A semelhança diz que a razão entre os catetos menores é igual à razão entre os catetos maiores. O cateto menor do triângulo maior é 27 (o comprimento do retângulo), e o do menor é x; o cateto maior do triângulo maior é 39 (o lado do quadrado original, calculado no passo 2), e o do menor é 12.

De onde vem cada valor: $x$ = lado desconhecido do retângulo (incógnita) · $12$ = enunciado: lado do quadrado recortado · $27$ = enunciado: comprimento do retângulo recortado · $39$ = passo 2: lado do quadrado original

Passo 4 — Isolar o lado desconhecido

A proporção é uma equação; para achar x, multiplicamos ambos os lados por 12, isolando a incógnita.

Por que esta fórmula: Multiplicar cruzado é a forma de resolver uma proporção: se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aqui, x·39 = 12·27.

De onde vem cada valor: $12$ = passo 3: numerador do lado esquerdo · $27$ = passo 3: numerador do lado direito · $39$ = passo 3: denominador do lado direito

Passo 5 — Arredondar para o inteiro mais próximo

As alternativas são números inteiros, então o valor exato (8,31) precisa ser aproximado. Como 8,31 está mais perto de 8 do que de 9, a resposta é 8 dm.

Resposta: 8 dm — alternativa D