Questão de Matemática — Definição, Subconjuntos, Inclusão e Pertinência, Operações, Conjunto das Partes — FGV 2024

Operações com Conjuntos e Diagramas de Venn

Gabarito: letra B — a região sombreada corresponde a $(A \cup B) - C$, ou seja, todos os elementos que pertencem a A ou a B, excluindo aqueles que também pertencem a C. A alternativa B é a única que representa exatamente essa união dos conjuntos A e B com a subtração do conjunto C.

Para resolver essa questão, precisamos entender o que cada operação entre conjuntos significa e como elas se traduzem no Diagrama de Venn. O diagrama de Venn é uma representação gráfica em que cada conjunto é desenhado como um círculo (ou elipse) e as operações entre eles são visualizadas pelas regiões sombreadas. As três operações básicas são:

• União ($\cup$): reúne todos os elementos dos conjuntos envolvidos. No diagrama, a união de A e B ($A \cup B$) é a área total coberta pelos dois círculos, incluindo a interseção entre eles.

• Interseção ($\cap$): seleciona apenas os elementos que pertencem simultaneamente a todos os conjuntos. No diagrama, $A \cap B$ é a região onde os círculos de A e B se sobrepõem.

• Diferença ($-$): retira de um conjunto os elementos que também pertencem a outro. Por exemplo, $A - B$ é a região de A que não está em B.

A ordem das operações segue a mesma lógica da aritmética: primeiro resolvemos o que está entre parênteses, depois as demais operações. No caso de $(A \cup B) - C$, primeiro calculamos a união de A e B (toda a área dos dois círculos), e depois subtraímos C, ou seja, retiramos dessa união tudo o que pertence a C. O resultado é a região que está em A ou em B, mas não em C.

Vamos aplicar isso a um exemplo concreto. Suponha que:

• $A = \{1, 2, 3, 4\}$

• $B = \{3, 4, 5, 6\}$

• $C = \{4, 5, 7\}$

Então:

• $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

• $(A \cup B) - C = \{1, 2, 3, 6\}$ (retiramos 4 e 5, que estão em C)

No diagrama de Venn, essa região corresponde a toda a área dos círculos A e B, excluindo a parte que também está dentro do círculo C. É exatamente isso que a alternativa B descreve.

A pegadinha dessa questão está em confundir a união com a interseção. Muitos candidatos, ao verem a região sombreada, podem pensar que se trata de $(A \cap B) - C$ (alternativa A), que seria apenas a interseção de A e B, excluindo C. Mas a região sombreada no diagrama inclui também as partes exclusivas de A e de B, o que caracteriza a união. Outra confusão comum é inverter a ordem da subtração, como nas alternativas C e D, que colocam a união com A ou B depois de subtrair C, o que muda completamente o resultado.

Guarde o critério decisivo: a região sombreada mostra todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B, mas não pertencem a C. É isso que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$(A \cap B) - C$ representa apenas a interseção entre A e B, excluindo C. No diagrama, isso seria somente a região de sobreposição dos círculos A e B, sem as partes exclusivas de cada um. A região sombreada na questão é maior, incluindo também as áreas exclusivas de A e de B, portanto a alternativa A está incorreta.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$(A \cup B) - C$ é exatamente a região sombreada: todos os elementos que pertencem a A ou a B (união), excluindo aqueles que também pertencem a C. Essa é a definição correta da operação, e é o que o diagrama representa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$(B - C) \cup A$ primeiro subtrai C de B, resultando nos elementos de B que não estão em C, e depois une com A. Isso incluiria todos os elementos de A, inclusive aqueles que também estão em C, o que não corresponde à região sombreada, que exclui os elementos de C. A alternativa C está incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$(A - C) \cup B$ primeiro subtrai C de A, resultando nos elementos de A que não estão em C, e depois une com B. Isso incluiria todos os elementos de B, inclusive aqueles que também estão em C, o que novamente não corresponde à região sombreada, que exclui os elementos de C. A alternativa D está incorreta.

Gabarito: letra B