Questão de Matemática — Outros Tópicos e Questões Mescladas de Geometria Plana — FGV 2024

Tangram: áreas e perímetros

Gabarito: letra A — a sequência correta é F – V – F. A primeira afirmativa é falsa porque, no Tangram, o paralelogramo (P) e o quadrado (Q) têm a mesma área; a segunda é verdadeira porque o triângulo T5 tem exatamente metade da área do triângulo T2; e a terceira é falsa porque o perímetro do quadrado Q é o dobro do maior lado do triângulo T1, não igual a ele.

O Tangram é um quebra-cabeça geométrico formado por 7 peças que, juntas, formam um quadrado maior. A propriedade central que resolve esta questão é que todas as peças são obtidas a partir de um mesmo quadrado original dividido por diagonais e medianas, o que estabelece relações precisas de área entre elas. As duas peças maiores (T1 e T2) são triângulos retângulos isósceles congruentes, cada um ocupando 1/4 da área total. O triângulo médio (T3) ocupa 1/8, e as quatro peças menores — T4, T5, o quadrado Q e o paralelogramo P — ocupam, cada uma, exatamente 1/16 da área total.

Essa divisão em frações da área total é a chave: como P e Q ocupam a mesma fração (1/16 cada), suas áreas são iguais — não maiores ou menores entre si. Já T5 (1/16) é exatamente a metade de T2 (1/8), pois 1/16 = (1/2) × (1/8). Para a terceira afirmativa, é preciso comparar o perímetro de Q com o maior lado de T1. Se chamarmos de $\ell$ o lado do quadrado Q, seu perímetro é $4\ell$. O maior lado de T1 é a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles, que mede $\ell\sqrt{2}$ (pois os catetos de T1 são iguais ao lado do quadrado Q). Como $4\ell \neq \ell\sqrt{2}$, a afirmativa é falsa.

A pegadinha da banca está em comparar grandezas de naturezas diferentes: área com área (afirmativa 1) e perímetro com comprimento (afirmativa 3). No primeiro caso, a intuição de que o paralelogramo é "maior" falha porque as peças do Tangram são construídas para ter áreas iguais quando ocupam a mesma fração do quadrado original. No terceiro caso, o candidato pode confundir o lado do quadrado com o maior lado do triângulo, sem perceber que o perímetro é uma soma de quatro lados, enquanto o maior lado do triângulo é apenas um segmento.

Para resolver questões de Tangram, o método mais eficiente é atribuir uma área total ao quadrado original (por exemplo, 16 unidades) e calcular a área de cada peça como fração desse total. Isso evita erros de comparação e torna as relações entre as peças imediatas.

Afirmativa 1 — ❌ Falsa

A afirmativa diz que a área de P é maior que a área de Q. No Tangram, o paralelogramo P e o quadrado Q são peças que ocupam a mesma fração da área total: cada um corresponde a 1/16 do quadrado original. Portanto, suas áreas são iguais, não maiores ou menores entre si. A banca explora a intuição de que o paralelogramo, por ser "esticado", teria área maior, mas a construção do Tangram garante a igualdade.

Afirmativa 2 — ✅ Verdadeira

A afirmativa diz que a área de T5 é igual à metade da área de T2. De fato, T5 ocupa 1/16 da área total, enquanto T2 ocupa 1/8. Como 1/16 = (1/2) × (1/8), a área de T5 é exatamente a metade da área de T2. Essa relação é direta das frações do quadrado original.

Afirmativa 3 — ❌ Falsa

A afirmativa diz que o perímetro de Q é igual ao maior lado de T1. Se o lado do quadrado Q mede $\ell$, seu perímetro é $4\ell$. O maior lado de T1 é a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles, que mede $\ell\sqrt{2}$ (pois os catetos de T1 são iguais ao lado do quadrado Q). Como $4\ell \neq \ell\sqrt{2}$, a afirmativa é falsa. O perímetro do quadrado é o dobro do maior lado do triângulo, não igual a ele.

Gabarito: letra A — F – V – F.