GabaritoC — \overline{BD} é maior que \overline{DE}.
Gabarito: letra C. No quadrado, a diagonal BD é o segmento mais longo que liga dois vértices opostos, enquanto DE liga um vértice a um ponto do lado oposto — geometricamente, a diagonal é sempre maior que qualquer segmento que ligue um vértice a um ponto do lado oposto que não seja o vértice oposto. Isso decorre do Teorema de Pitágoras aplicado aos triângulos retângulos formados.
Vamos entender a estrutura do problema. Temos um quadrado ABCD, com E sobre o lado BC, e a condição de que BE < CE, ou seja, E está mais próximo de B do que de C. Precisamos comparar comprimentos de segmentos que ligam vértices a E e as diagonais.
Primeiro, vamos estabelecer as medidas. Seja o lado do quadrado igual a L. Como E está sobre BC, temos BE = x e CE = L - x, com a condição x < L - x, ou seja, x < L/2. O ponto E está na metade inferior do lado BC.
Agora, vamos calcular cada segmento mencionado nas alternativas usando o Teorema de Pitágoras:
AE: no triângulo retângulo ABE, com catetos AB = L e BE = x, temos AE = √(L² + x²).
DE: no triângulo retângulo DCE, com catetos DC = L e CE = L - x, temos DE = √(L² + (L-x)²).
BD: é a diagonal do quadrado, BD = L√2.
Com essas expressões, podemos analisar cada alternativa.
Segmento | Expressão (lado = L, BE = x, CE = L−x) | Comparação com a alternativa | Resultado |
|---|---|---|---|
AE | √(L² + x²) | AE < DE, pois x < L−x | Alternativa A falsa |
AB | L | AE = √(L² + x²) > L, pois x > 0 | Alternativa B falsa |
BD | L√2 | BD > DE, pois DE < L√2 (máx. quando x→0) | Alternativa C verdadeira |
CE | L−x | DE = √(L² + (L−x)²) > L−x = CE | Alternativa D falsa |
BD | L√2 | BD = AE exigiria x = L, mas x < L/2 | Alternativa E falsa |
Afirma que AE > DE. Pela fórmula, AE = √(L² + x²) e DE = √(L² + (L-x)²). Como x < L/2, temos x < L - x, logo x² < (L-x)², e portanto AE < DE. A alternativa está incorreta — na verdade, AE é menor que DE.
Afirma que AB > AE. Mas AB = L e AE = √(L² + x²), que é sempre maior que L, pois x > 0. Logo, AE > AB, e a afirmação é falsa.
Afirma que BD > DE. Temos BD = L√2 ≈ 1,414L. Já DE = √(L² + (L-x)²). Como x < L/2, temos L - x > L/2, então (L-x)² > L²/4, e DE > √(L² + L²/4) = √(5L²/4) = L√5/2 ≈ 1,118L. Mas precisamos comparar com BD. Na verdade, o maior valor possível de DE ocorre quando x = 0 (E = B), dando DE = √(L² + L²) = L√2 = BD. Como x > 0, temos DE < BD. Portanto, BD > DE é sempre verdadeiro.
Afirma que CE = DE. Mas CE = L - x e DE = √(L² + (L-x)²). Como L > 0, temos DE > L - x = CE. A afirmação é falsa.
Afirma que BD = AE. Mas BD = L√2 e AE = √(L² + x²). Para serem iguais, precisaríamos de L√2 = √(L² + x²), ou seja, 2L² = L² + x², logo x² = L², x = L. Mas x < L/2, então é impossível. A afirmação é falsa.
Gabarito: letra C — BD é sempre maior que DE, pois a diagonal do quadrado é o segmento mais longo que liga dois vértices, e DE liga um vértice a um ponto do lado oposto que não é o vértice oposto.
Link permanente: /questoes/fg164395