Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a O preço do sanduíche é R$ 12,00 — alternativa D..

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada compra vira uma equação, e as incógnitas são os preços que não conhecemos: o do sanduíche e o do suco. Resolver o sistema é achar os valores que fazem as duas contas baterem.

Cada equação tem a forma 'quantidade de sanduíches vezes o preço do sanduíche + quantidade de sucos vezes o preço do suco = total pago'. Se o preço do sanduíche aumentar, para o total continuar o mesmo, o preço do suco precisa diminuir — é essa troca que as equações descrevem. O método da substituição isola uma incógnita em uma equação e a usa na outra, transformando o problema em uma conta só.

Esta questão pede exatamente isso: montar as duas equações a partir das compras e resolver o sistema para achar o preço do sanduíche. O caminho é algébrico, sem precisar testar as alternativas.

O que a questão dá

• 2 sanduíches + 3 sucos = 51 reais

• 3 sanduíches + 4 sucos = 72 reais

O que queremos: o preço de um sanduíche

Passo 1 — Definir as incógnitas

Antes de escrever qualquer equação, precisamos dar nomes aos preços que queremos descobrir. Isso transforma o texto em linguagem matemática.

Passo 2 — Montar a equação da primeira compra

A primeira compra dá uma relação entre os preços: 2 sanduíches e 3 sucos custam 51 reais. Isso vira uma equação que precisa ser satisfeita.

Por que esta fórmula: O total pago é a soma do que se gastou com sanduíches (quantidade vezes preço) e com sucos (quantidade vezes preço).

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: 2 sanduíches · $x$ = passo 1: preço do sanduíche · $3$ = enunciado: 3 sucos · $y$ = passo 1: preço do suco · $51$ = enunciado: total pago

Passo 3 — Montar a equação da segunda compra

A segunda compra dá outra relação entre os mesmos preços. Com duas equações, conseguimos achar os dois valores.

Por que esta fórmula: Mesma lógica da primeira: total = quantidade de sanduíches vezes preço + quantidade de sucos vezes preço.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: 3 sanduíches · $x$ = passo 1: preço do sanduíche · $4$ = enunciado: 4 sucos · $y$ = passo 1: preço do suco · $72$ = enunciado: total pago

Passo 4 — Isolar o preço do suco na primeira equação

Para usar o método da substituição, precisamos expressar uma incógnita em função da outra. Isolar y na primeira equação é o passo que permite substituir na segunda.

Por que esta fórmula: Da equação 2x + 3y = 51, subtraímos 2x dos dois lados e depois dividimos por 3, para deixar y sozinho.

De onde vem cada valor: $51$ = passo 2 · $2$ = passo 2 · $x$ = passo 1 · $3$ = passo 2

Passo 5 — Substituir na segunda equação

Agora que y está em função de x, podemos trocá-lo na segunda equação. Isso deixa uma equação só com x, que é o que queremos achar.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde aparecia y, colocamos a expressão do passo 4.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 3 · $x$ = passo 1 · $4$ = passo 3 · $\frac{51 - 2x}{3}$ = passo 4 · $72$ = passo 3

Passo 6 — Resolver a equação para achar x

Com uma equação só com x, podemos isolá-lo e descobrir o preço do sanduíche. É a conta final do método.

Por que esta fórmula: Multiplicamos tudo por 3 para eliminar o denominador, depois juntamos os termos com x e isolamos x.

De onde vem cada valor: $9x$ = passo 5: 3x multiplicado por 3 · $204$ = passo 5: 4 vezes 51 · $8x$ = passo 5: 4 vezes 2x · $216$ = passo 5: 72 multiplicado por 3

Resposta: O preço do sanduíche é R$ 12,00 — alternativa D.