Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 384 m² — alternativa B.

A ideia por trás

Um quadrilátero é uma figura de quatro lados. Quando dois ângulos consecutivos são retos, a figura ganha um formato especial: os dois lados que formam esses ângulos retos ficam paralelos entre si, e o lado que os une é perpendicular a ambos. Esse formato é chamado de trapézio retângulo, e a área dele é calculada pela média das bases multiplicada pela altura.

A área de um trapézio é dada por A = (B + b) · h / 2, onde B e b são as bases (os lados paralelos) e h é a altura (a distância entre elas). A altura é sempre perpendicular às bases. No trapézio retângulo, um dos lados não paralelos é justamente a altura, mas o outro lado oblíquo não é — ele forma um triângulo retângulo com a diferença das bases e a altura, o que permite usar o Teorema de Pitágoras para descobrir a altura quando ela não é dada.

Esta questão fornece três lados, mas a altura não está entre eles. É preciso reconhecer o trapézio retângulo, identificar que AD é a altura e calculá-la usando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela diferença das bases e o lado oblíquo.

O que a questão dá

• AB = 30 m

• BC = 20 m

• CD = 18 m

• ângulos A e D são retos

O que queremos: a área do terreno em metros quadrados

Passo 1 — Calcular a diferença entre as bases

Como os ângulos em A e D são retos, os lados AB e CD são ambos perpendiculares a AD, logo são paralelos entre si — isso caracteriza um trapézio retângulo, com bases AB e CD e altura AD. Para usar o Teorema de Pitágoras, precisamos do cateto horizontal do triângulo retângulo formado pelo lado oblíquo BC. Esse cateto é exatamente a diferença entre as bases, pois a base maior AB é mais longa que a menor CD.

Por que esta fórmula: A diferença entre as bases é simplesmente a subtração dos comprimentos: B - b.

De onde vem cada valor: $B$ = enunciado: AB = 30 m · $b$ = enunciado: CD = 18 m

Passo 2 — Achar a altura AD pelo Teorema de Pitágoras

A altura AD é o outro cateto do triângulo retângulo cuja hipotenusa é BC. Sem ela, não conseguimos calcular a área do trapézio. O Teorema de Pitágoras relaciona os três lados desse triângulo.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo formado por AD, a diferença das bases (12 m) e BC (20 m), a hipotenusa é BC. O Teorema de Pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: AD² + 12² = 20².

De onde vem cada valor: $BC$ = enunciado: 20 m · $\Delta$ = passo 1: 12 m

Passo 3 — Calcular a área do trapézio

Agora temos todos os elementos da fórmula da área: as bases AB e CD e a altura AD. Basta substituir na fórmula.

Por que esta fórmula: A área do trapézio é a média das bases multiplicada pela altura: A = (B + b) · h / 2. Essa fórmula vem da ideia de que um trapézio pode ser transformado em um retângulo de mesma altura e base igual à média das bases.

De onde vem cada valor: $B$ = enunciado: AB = 30 m · $b$ = enunciado: CD = 18 m · $h$ = passo 2: AD = 16 m

Resposta: 384 m² — alternativa B