GabaritoC — 45.
Gabarito: letra C — a conta chega a 45 soldados — alternativa C.
Uma razão compara duas quantidades: dizer que para cada cabo há 5 soldados significa que, se houver 1 cabo, haverá 5 soldados; se houver 2 cabos, 10 soldados, e assim por diante. Quando várias razões se encadeiam, elas formam uma proporção, que é uma igualdade entre razões. Neste problema, as razões ligam as três patentes e o total de pessoas, e o que queremos é descobrir quantos soldados existem dentro desse total.
A relação central é a de proporcionalidade: se para cada sargento há 3 cabos e para cada cabo há 5 soldados, então para cada sargento há 3 × 5 = 15 soldados. Isso monta a proporção sargento : cabo : soldado = 1 : 3 : 15. A soma das partes (1 + 3 + 15 = 19) representa o total de grupos, e cada grupo tem o mesmo número de pessoas. Dividindo o total de policiais pela soma das partes, obtemos quantas pessoas há em cada parte; multiplicando pela parte dos soldados, achamos a resposta. Essa relação vale porque as razões são constantes e o total é a soma das partes proporcionais.
Esta questão cobra exatamente a conversão de razões encadeadas em uma proporção única e o uso do total para achar o valor de cada parte. O passo decisivo é montar a proporção 1 : 3 : 15 e dividir o total pela soma das partes.
total de policiais = 57
para cada cabo, há 5 soldados
para cada sargento, há 3 cabos
O que queremos: o número de soldados no encontro
As duas razões do enunciado estão encadeadas: a de cabo para soldado e a de sargento para cabo. Para trabalhar com uma única proporção, precisamos expressar tudo em relação a uma base comum — aqui, o sargento. Se para cada sargento há 3 cabos, e para cada cabo há 5 soldados, então para cada sargento há 3 × 5 = 15 soldados. Assim, a proporção fica sargento : cabo : soldado = 1 : 3 : 15.
Por que esta fórmula: Multiplicamos as razões porque elas são encadeadas: a quantidade de cabos depende do número de sargentos, e a de soldados depende do número de cabos. A multiplicação 3 × 5 combina as duas dependências em uma só.
De onde vem cada valor: = constante: base de comparação (um sargento) · = enunciado: para cada sargento, 3 cabos · = definição: 3 × 5, pois para cada cabo há 5 soldados
Inverter a razão, montando 5 : 1 ou 3 : 1 — isso troca os papéis e leva a um resultado errado.
A proporção 1 : 3 : 15 indica que o total de policiais se divide em 1 + 3 + 15 = 19 partes iguais. Somar as partes é necessário para saber em quantos grupos o total será dividido.
Por que esta fórmula: A soma das partes de uma proporção dá o número total de partes em que o todo é dividido. Cada parte tem o mesmo tamanho, então o total dividido pela soma das partes revela o valor de uma parte.
De onde vem cada valor: = passo 1: parte dos sargentos · = passo 1: parte dos cabos · = passo 1: parte dos soldados
Esquecer de somar uma das partes, usando 1 + 3 = 4 ou 3 + 15 = 18 — isso divide o total errado.
Com o total de 57 policiais e 19 partes, cada parte corresponde a 57 ÷ 19 = 3 policiais. Esse valor é a chave para calcular quantos soldados existem, pois os soldados ocupam 15 dessas partes.
Por que esta fórmula: A divisão do total pela soma das partes é o método padrão para problemas de proporção: ela transforma a proporção em quantidades reais.
De onde vem cada valor: = enunciado: total de policiais · = passo 2: soma das partes
Dividir 57 por 15 (a parte dos soldados) em vez de por 19 — isso daria um valor por parte errado.
Agora que sabemos que cada parte vale 3 policiais, e os soldados correspondem a 15 partes, basta multiplicar: 15 × 3 = 45. Esse é o número de soldados no encontro.
Por que esta fórmula: A quantidade de soldados é o produto do número de partes que eles ocupam pelo valor de cada parte.
De onde vem cada valor: = passo 1: parte dos soldados na proporção · = passo 3: valor de cada parte
Multiplicar 15 por 57 (o total) em vez de pelo valor de cada parte — isso daria um número absurdo.
Resposta: 45 soldados — alternativa C
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