Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — FGV 2024

Paridade e produto de números inteiros

Gabarito: letra D. Se o produto de quatro números inteiros é par, então pelo menos um deles é par; e se a soma é par, a quantidade de números ímpares entre eles é par (0, 2 ou 4). Combinando as duas condições, conclui-se que há no mínimo duas bolas com números pares — exatamente o que afirma a alternativa D.

Vamos entender o raciocínio por trás dessa conclusão, que é puramente lógica e não exige nenhum cálculo. Primeiro, lembre-se do que define um número par: é todo inteiro divisível por 2, ou seja, que termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Todo número que não é par é ímpar. A paridade (ser par ou ímpar) se comporta de forma previsível nas operações de soma e multiplicação, e é isso que a questão explora.

Sobre o produto: um produto de números inteiros é par se, e somente se, pelo menos um dos fatores for par. Isso porque o 2 é um número primo: para que o 2 apareça na fatoração do produto, ele precisa estar em algum dos fatores. Se todos os fatores fossem ímpares, o produto seria ímpar. Portanto, a informação "o produto é par" nos garante que existe pelo menos uma bola com número par.

Sobre a soma: a soma de números inteiros é par quando a quantidade de números ímpares somados é par (0, 2, 4, ...). Isso porque cada número ímpar contribui com um "resto 1" na divisão por 2; somando dois ímpares, os restos se cancelam (1+1=2, que é par). Já os números pares não alteram a paridade da soma. Assim, a informação "a soma é par" nos diz que o número de bolas ímpares é 0, 2 ou 4.

Agora, juntando as duas informações: temos 4 bolas. Se houvesse 0 bolas pares (todas ímpares), o produto seria ímpar — contraria a primeira condição. Se houvesse exatamente 1 bola par, então teríamos 3 bolas ímpares; a soma de 3 ímpares é ímpar (3 é ímpar) — contraria a segunda condição. Logo, o número de bolas pares não pode ser 0 nem 1. Como só existem 4 bolas, o número de bolas pares é 2, 3 ou 4 — ou seja, no mínimo duas. É exatamente o que a alternativa D afirma.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que nenhuma bola tem número par, ou seja, todas são ímpares. Se todas fossem ímpares, o produto seria ímpar, contrariando diretamente a informação de que o produto é par. Portanto, é impossível.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que exatamente uma bola tem número par. Nesse caso, teríamos 3 bolas ímpares. A soma de 3 números ímpares é ímpar (pois 3 é ímpar), o que contraria a informação de que a soma é par. Logo, essa configuração é impossível.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que exatamente uma bola tem número ímpar. Isso significaria 3 bolas pares. A soma de 3 pares com 1 ímpar é ímpar (pois a quantidade de ímpares é 1, que é ímpar), contrariando a condição da soma par. Portanto, também é impossível.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que no mínimo duas bolas têm números pares. Como vimos, o número de bolas pares não pode ser 0 (produto ímpar) nem 1 (soma ímpar). Logo, só pode ser 2, 3 ou 4 — sempre no mínimo 2. Essa é a única conclusão que satisfaz simultaneamente as duas condições do enunciado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que no mínimo duas bolas têm números ímpares. Isso permitiria, por exemplo, 2 ímpares e 2 pares, o que até satisfaz as condições (produto par e soma par). Porém, a afirmação é muito forte: ela exige que haja pelo menos 2 ímpares, mas é perfeitamente possível ter 0 ímpares (todas pares), como no caso 2, 4, 6, 8 — que também atende ao enunciado. Como a alternativa E não é uma consequência necessária, ela está incorreta.

Gabarito: letra D — no mínimo duas bolas têm números pares.