GabaritoA — 8.
Gabarito: letra A — a conta chega a Soma dos algarismos = 8, alternativa A.
Quando um número é dividido por outro e sobra um resto, isso significa que o número é formado por um múltiplo do divisor mais o resto. Por exemplo, se N dividido por 6 deixa resto 2, então N = 6·q + 2 para algum inteiro q. O resto é sempre menor que o divisor. Aqui, o mesmo resto 2 aparece para dois divisores diferentes, 6 e 8.
Se N deixa resto 2 ao ser dividido por 6 e por 8, então N − 2 é divisível por 6 e por 8, ou seja, N − 2 é um múltiplo comum de 6 e 8. O menor múltiplo comum positivo de dois números é o MMC (Mínimo Múltiplo Comum). Para achar o MMC, fatoramos cada número em primos e tomamos cada fator com o maior expoente que aparece. Assim, o menor N será o MMC + 2.
Esta questão cobra exatamente essa ideia: transformar o problema de restos em um problema de múltiplos comuns. O passo crucial é perceber que subtrair o resto transforma a condição em divisibilidade, e então usar o MMC para achar o menor número.
N dividido por 6 deixa resto 2
N dividido por 8 deixa resto 2
pede-se o menor N que satisfaz
O que queremos: a soma dos algarismos do menor N que satisfaz as condições
O problema fala de restos, mas é mais fácil trabalhar com divisibilidade. Se N deixa resto 2 ao ser dividido por 6, então N = 6·q + 2, logo N − 2 = 6·q, ou seja, N − 2 é múltiplo de 6. O mesmo vale para 8. Então N − 2 é múltiplo de 6 e de 8 ao mesmo tempo.
Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é a definição de divisão com resto: dividendo = divisor × quociente + resto. Subtraindo o resto dos dois lados, obtemos que o dividendo menos o resto é múltiplo do divisor.
Achar que N é o próprio múltiplo comum, esquecendo de somar o resto depois. Por exemplo, pensar que N = 24, mas 24 dividido por 6 dá resto 0, não 2.
Como N − 2 é múltiplo comum de 6 e 8, o menor valor possível para N − 2 é o menor múltiplo comum, que é o MMC. Precisamos calculá-lo para achar o menor N.
Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos com os maiores expoentes. Fatoramos 6 = 2 × 3 e 8 = 2³. O fator 2 aparece com expoente 3 (em 8) e o fator 3 com expoente 1 (em 6). Então MMC = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.
De onde vem cada valor: = definição: fatoração de 8 em primos · = definição: fatoração de 6 em primos
Usar o MDC (máximo divisor comum) em vez do MMC. MDC(6,8) = 2, o que daria N = 4, mas 4 não deixa resto 2 ao ser dividido por 6.
Sabemos que N − 2 = 24, então N = 24 + 2. Isso porque o menor múltiplo comum é 24, e o resto 2 é adicionado para obter o número que deixa esse resto.
Por que esta fórmula: Da relação N − 2 = MMC, isolamos N somando 2 dos dois lados.
De onde vem cada valor: = passo 2: 24 · = enunciado: resto comum
Esquecer de somar o resto e marcar 24 como resposta, mas 24 não satisfaz as condições de resto.
A questão não pede o número N, mas a soma dos seus algarismos. O número 26 tem dois algarismos: 2 e 6. Somamos 2 + 6.
Por que esta fórmula: A soma dos algarismos de um número é a adição de cada dígito que o compõe.
De onde vem cada valor: = passo 3: algarismo das dezenas de 26 · = passo 3: algarismo das unidades de 26
Marcar 26 como resposta, mas 26 não está entre as alternativas; a questão pede a soma, não o número.
Resposta: Soma dos algarismos = 8, alternativa A
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