Questão de Matemática — Números Complexos — FGV 2024

Quaternions: multiplicação e módulo

Gabarito: letra E. O módulo de $Q_3 = Q_1 Q_2$ é $\sqrt{6}$. Para chegar a esse valor, multiplicamos os quaternions $Q_1 = 1 - i$ e $Q_2 = i - j + k$ usando as regras de multiplicação das unidades imaginárias ($i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$) e, em seguida, calculamos a norma do resultado, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus quatro componentes.

Os quaternions são uma extensão dos números complexos para um espaço de quatro dimensões (um escalar e três componentes imaginárias: $i$, $j$ e $k$). Eles são amplamente utilizados em computação gráfica, robótica e física para representar rotações e orientações no espaço tridimensional. A multiplicação de quaternions não é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores altera o resultado. As regras fundamentais para a multiplicação das unidades imaginárias são:

• $i^2 = j^2 = k^2 = -1$

• $ij = k$, $ji = -k$

• $jk = i$, $kj = -i$

• $ki = j$, $ik = -j$

Essas regras podem ser memorizadas com o ciclo $i \rightarrow j \rightarrow k \rightarrow i$: o produto de duas unidades consecutivas no sentido horário é a terceira unidade, e no sentido anti-horário é a terceira com sinal negativo.

Vamos aplicar essas regras para calcular $Q_3 = Q_1 Q_2 = (1 - i)(i - j + k)$:

1. Multiplicação distributiva:

   $Q_3 = 1 \cdot (i - j + k) - i \cdot (i - j + k)$

   $Q_3 = (i - j + k) - (i^2 - ij + ik)$

1. Aplicando as regras de multiplicação:

   $i^2 = -1$, $ij = k$, $ik = -j$

   $Q_3 = (i - j + k) - (-1 - k - j)$

   $Q_3 = i - j + k + 1 + k + j$

1. Simplificando os termos semelhantes:

   $Q_3 = 1 + i + (-j + j) + (k + k)$

   $Q_3 = 1 + i + 0 + 2k$

   $Q_3 = 1 + i + 2k$

Agora, o módulo (ou norma) de um quaternion $q = a + bi + cj + dk$ é dado por $|q| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$. Para $Q_3 = 1 + i + 0j + 2k$, temos:

$|Q_3| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 0 + 4} = \sqrt{6}$.

A pegadinha desta questão está em dois pontos: primeiro, é preciso lembrar que a multiplicação de quaternions não é comutativa e que as regras de multiplicação das unidades $i$, $j$ e $k$ são diferentes das dos números complexos puros. Segundo, é preciso aplicar corretamente a definição de módulo para um quaternion, que envolve a soma dos quadrados de todos os quatro componentes, e não apenas dos dois primeiros, como seria em um número complexo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 seria o módulo de um quaternion unitário, como $1$ ou $i$, mas não é o caso de $Q_3$. O cálculo correto resulta em $\sqrt{6}$, que é maior que 1.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\sqrt{2}$ seria o módulo de um quaternion com dois componentes de magnitude 1, como $1 + i$. No entanto, $Q_3$ possui três componentes não nulos ($1$, $i$ e $2k$), o que aumenta o valor do módulo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\sqrt{3}$ seria o módulo de um quaternion com três componentes de magnitude 1, como $1 + i + j$. Mas $Q_3$ tem um componente com magnitude 2 (o $2k$), o que eleva o módulo para $\sqrt{6}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\sqrt{5}$ seria o módulo de um quaternion com componentes cujos quadrados somam 5, como $1 + 2i$ (pois $1^2 + 2^2 = 5$). No entanto, $Q_3$ tem componentes $1$, $1$ e $2$, cujos quadrados somam $1 + 1 + 4 = 6$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $Q_3 = 1 + i + 2k$, e seu módulo é $|Q_3| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{6}$. A alternativa E apresenta exatamente esse valor.

Gabarito: letra E