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Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

MatemáticaMatrizes
Código
fg164409
Banca
FGV
Órgão
INPE
Ano
2024
Cargo
Tecno Jr ( )
Existe grande interesse no desenvolvimento de algoritmos mais eficientes para cálculo de autovalores, sobretudo em matrizes esparsas e de alta ordem, as quais naturalmente advém da modelagem de sistemas dinâmicos reais de grande porte.   Nesse contexto, considere um sistema de grande porte representado por uma matriz P dada por:   P=[−13003−1000030000−1]\begin{bmatrix}-1&3&0&0\\3&-1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&-1 \end{bmatrix}   Um dos autovalores da matriz P é
  1. A−4 .
  2. B−3 .
  3. C−2 .
  4. D0 .
  5. E1 .
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — −4 .

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Autovalores de matrizes em blocos

Gabarito: letra A — o autovalor −4 é um dos autovalores da matriz P. A matriz é diagonal em blocos, com um bloco 2×2 na parte superior esquerda e dois blocos 1×1 na diagonal inferior. Os autovalores de uma matriz diagonal em blocos são a união dos autovalores de cada bloco, e o bloco 2×2 tem autovalores −4 e 2, enquanto os blocos 1×1 têm autovalores 3 e −1.

Autovalores são os escalares λ que satisfazem a equação característica det(A − λI) = 0, ou seja, são as raízes do polinômio característico da matriz. Para uma matriz diagonal em blocos, o determinante da matriz inteira é o produto dos determinantes dos blocos diagonais, o que simplifica enormemente o cálculo: basta calcular os autovalores de cada bloco separadamente e unir os resultados.

A matriz P dada é:

P=[−13003−1000030000−1]P = \begin{bmatrix}-1 & 3 & 0 & 0\\3 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}

Ela é composta por três blocos diagonais: o bloco 2×2 B1=[−133−1]B_1 = \begin{bmatrix}-1 & 3\\3 & -1\end{bmatrix}, o bloco 1×1 B2=[3]B_2 = [3] e o bloco 1×1 B3=[−1]B_3 = [-1]. Os autovalores de P são a união dos autovalores de B1B_1, B2B_2 e B3B_3.

Para o bloco 2×2, o polinômio característico é:

det⁡(B1−λI)=∣−1−λ33−1−λ∣=(−1−λ)2−9=λ2+2λ−8\det(B_1 - \lambda I) = \begin{vmatrix}-1-\lambda & 3\\3 & -1-\lambda\end{vmatrix} = (-1-\lambda)^2 - 9 = \lambda^2 + 2\lambda - 8

As raízes são λ=−4\lambda = -4 e λ=2\lambda = 2. Para os blocos 1×1, os autovalores são os próprios elementos: 3 e −1. Portanto, o conjunto completo de autovalores de P é {−4, 2, 3, −1}.

A alternativa correta é a letra A, pois −4 é um dos autovalores. As demais alternativas (B, C, D, E) não são autovalores de P.

Autovalores do bloco 2×2Autovalores dos blocos 1×1−4, 23, −1∅LEVELsoulevel.com.br
Autovalores da matriz P — só Autovalores do bloco 2×2: −4, 2; só Autovalores dos blocos 1×1: 3, −1; Autovalores do bloco 2×2∩Autovalores dos blocos 1×1: ∅

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor −4 é um autovalor do bloco 2×2 [−133−1]\begin{bmatrix}-1 & 3\\3 & -1\end{bmatrix}. Resolvendo a equação característica λ2+2λ−8=0\lambda^2 + 2\lambda - 8 = 0, obtemos as raízes λ=−4\lambda = -4 e λ=2\lambda = 2. Portanto, −4 é um dos autovalores da matriz P.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor −3 não é autovalor de nenhum dos blocos. Os autovalores são −4, 2, 3 e −1. O número −3 não aparece em nenhuma das raízes calculadas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor −2 não é autovalor de P. Embora o polinômio característico do bloco 2×2 seja λ2+2λ−8\lambda^2 + 2\lambda - 8, cujas raízes são −4 e 2, o valor −2 não é raiz. Também não é autovalor dos blocos 1×1.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0 não é autovalor de P. Nenhum dos blocos tem autovalor zero: o bloco 2×2 tem autovalores −4 e 2, e os blocos 1×1 têm autovalores 3 e −1.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 1 não é autovalor de P. Os autovalores são −4, 2, 3 e −1. O número 1 não é raiz de nenhum dos polinômios característicos dos blocos.

Gabarito: letra A

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