A representação de sistemas dinâmicos por modelo de espaço de estados estabelece um significado físico-conceitual às características matemáticas das matrizes de estado que compõem tal modelo. Nesse diapasão, ressalta-se os autovalores e autovetores da matriz de estados, os quais estão intimamente ligados a caracterização da dinâmica desse sistema. Considere que um sistema dinâmico possui uma matriz de estado J, a qual é descrita a seguir: J=−201010−20101111100−201100−20 Sabe-se ainda que esta matriz possui um autovetor v, onde v = 0−1010. Nessas condições, um dos autovalores da matriz J é
A−3 .
B−2 .
C0 .
D1 .
E2 .
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GabaritoA — −3 .
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a λ = -3 — alternativa A.
A ideia por trás
Autovalores e autovetores são ferramentas para entender como uma matriz transforma vetores. Um autovetor é um vetor não nulo que, ao ser multiplicado pela matriz, apenas é esticado ou encolhido, mantendo a mesma direção. O autovalor é o fator de escala: se o autovalor é 2, o vetor dobra de tamanho; se é -3, ele triplica e inverte o sentido.
A definição é Av = λv, onde A é a matriz, v é o autovetor e λ é o autovalor. Isso significa que, para um autovetor, a multiplicação pela matriz equivale a multiplicar por um número. Para descobrir o autovalor de um autovetor conhecido, basta calcular Av e ver qual número multiplicado por v resulta nesse vetor. Não é preciso calcular o polinômio característico.
A questão fornece um autovetor e pede o autovalor correspondente. Basta aplicar a definição diretamente: calcular Jv e comparar com v.
O que queremos: o autovalor associado ao autovetor v
Passo 1 — Montar a multiplicação Jv
A definição de autovetor diz que Jv = λv. Para descobrir λ, precisamos primeiro calcular o vetor resultante da multiplicação da matriz pelo vetor dado.
Por que esta fórmula: A multiplicação de matriz por vetor é feita linha por linha: cada componente do resultado é a soma dos produtos dos elementos da linha pelos elementos do vetor.
De onde vem cada valor: = enunciado: matriz J · = enunciado: vetor v = [0, -1, 0, 1, 0]
NÃO CAIA NESSA!
Errar a multiplicação linha por coluna, especialmente na segunda e quarta linhas, onde há termos com sinais negativos.
Passo 2 — Comparar Jv com v para achar λ
Agora que temos Jv, precisamos ver qual número multiplicado por v resulta nesse vetor. Isso é a definição de autovalor.
Por que esta fórmula: Se Jv = λv, então cada componente de Jv deve ser λ vezes a componente correspondente de v. Comparando as componentes, encontramos λ.
De onde vem cada valor: = passo 1: [0, 3, 0, -3, 0] · = enunciado: [0, -1, 0, 1, 0]
NÃO CAIA NESSA!
Confundir o sinal: como v tem -1 na segunda componente e Jv tem 3, λ deve ser -3, não 3.