Questão de Matemática — Equações diferenciais ordinárias — FGV 2024

Matriz de Transição de Estados

Gabarito: letra B. A matriz de transição de estados $ϕ(t)$ de um sistema linear invariante no tempo é dada por $e^{At}$, onde $A$ é a matriz de estados. Como $A = MLM^{-1}$, temos que $e^{At} = M e^{Lt} M^{-1}$. Calculando $e^{Lt}$ (exponencial de uma matriz diagonal) e realizando o produto $M e^{Lt} M^{-1}$, obtemos exatamente a matriz da alternativa B: $\begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ 3e^{-t}-3e^{-2t} & e^{-t} \end{bmatrix}$.

A matriz de transição de estados é um conceito fundamental na análise de sistemas dinâmicos lineares. Ela descreve como o estado do sistema evolui no tempo a partir de uma condição inicial, sem considerar a entrada (resposta natural). Matematicamente, para um sistema $\dot{x}(t) = A x(t)$, a solução é $x(t) = \phi(t) x(0)$, onde $\phi(t) = e^{At}$.

O cálculo de $e^{At}$ pode ser feito de várias formas. Uma delas é a diagonalização: se $A = M L M^{-1}$, onde $L$ é uma matriz diagonal contendo os autovalores, então $e^{At} = M e^{Lt} M^{-1}$. A exponencial de uma matriz diagonal é simplesmente a exponencial de cada elemento da diagonal: se $L = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2)$, então $e^{Lt} = \text{diag}(e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t})$.

Nesta questão, $L = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, então $e^{Lt} = \begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{bmatrix}$. O passo crucial é calcular $M^{-1}$ e então efetuar o produto $M e^{Lt} M^{-1}$.

Para $M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$, a inversa é $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{adj}(M)$. O determinante é $\det(M) = (1)(2) - (0)(-3) = 2$. A matriz adjunta é $\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$. Portanto, $M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3/2 & 1/2 \end{bmatrix}$.

Agora, calculamos o produto:

$M e^{Lt} M^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3/2 & 1/2 \end{bmatrix}$

Primeiro, $M e^{Lt} = \begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ -3e^{-2t} & 2e^{-t} \end{bmatrix}$.

Depois, multiplicamos pela direita por $M^{-1}$:

$\begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ -3e^{-2t} & 2e^{-t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3/2 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-2t} \cdot 1 + 0 \cdot 3/2 & e^{-2t} \cdot 0 + 0 \cdot 1/2 \\ -3e^{-2t} \cdot 1 + 2e^{-t} \cdot 3/2 & -3e^{-2t} \cdot 0 + 2e^{-t} \cdot 1/2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ -3e^{-2t} + 3e^{-t} & e^{-t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ 3e^{-t} - 3e^{-2t} & e^{-t} \end{bmatrix}$.

Este é exatamente o resultado da alternativa B. A pegadinha central está em não calcular corretamente a inversa de $M$ ou errar na ordem da multiplicação das matrizes. A banca explora a confusão entre $M e^{Lt} M^{-1}$ e $M^{-1} e^{Lt} M$, que são diferentes.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta elementos que não correspondem ao resultado do produto matricial. O termo $1+e^{-2t}$ na posição (1,1) sugere um erro na exponenciação ou na multiplicação, pois o correto é apenas $e^{-2t}$. Além disso, o termo $e^{-2t}+e^{-t}-3$ na posição (2,1) não é o resultado de $-3e^{-2t} + 3e^{-t}$. A presença do número $3$ e a soma de exponenciais indicam uma confusão entre a matriz $M$ e sua inversa, ou um erro na ordem das operações.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, o cálculo de $\phi(t) = M e^{Lt} M^{-1}$ resulta exatamente em $\begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ 3e^{-t} - 3e^{-2t} & e^{-t} \end{bmatrix}$. A posição (2,1) reflete a combinação linear das exponenciais proveniente da multiplicação das matrizes, e as posições (1,1) e (2,2) são as exponenciais dos autovalores. Esta é a única alternativa que corresponde ao cálculo correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa contém os autovalores multiplicados por constantes ($-2e^{-2t}$ e $-e^{-t}$), o que não é o procedimento correto. A exponencial de matriz não é a exponencial dos elementos multiplicada por eles mesmos; é a exponencial de cada autovalor na diagonal. Além disso, o termo $3e^{-2t}$ na posição (2,1) não tem relação com o resultado correto, que envolve a diferença $3e^{-t} - 3e^{-2t}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma matriz diagonal, o que seria o resultado se $M$ fosse a identidade. No entanto, como $M$ não é a identidade, a matriz de transição não é diagonal. O termo $2e^{-t}$ na posição (2,2) também está incorreto, pois o autovalor correspondente é $-1$, resultando em $e^{-t}$, sem o fator 2. A banca explora aqui a confusão entre a matriz $L$ e a matriz $A$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta o termo $e^{3t}$ na posição (2,1), que não tem relação com os autovalores do sistema ($-2$ e $-1$). O termo $e^{3t}$ sugere um autovalor $3$, que não existe. Além disso, a estrutura da matriz não reflete o acoplamento entre os estados, que é dado pela matriz $M$. A presença de $e^{3t}$ é um distrator claro para quem não calcula corretamente a exponencial da matriz.

Gabarito: letra B