Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164415

MatemáticaÁlgebra linear avançada (vetores, matrizes e espaços vetoriais)

Código: fg164415
Banca: FGV
Órgão: TCE PA
Ano: 2024

Cargo: Aud CE (TCE-PA)

A decomposição em valores singulares (Singular Value Decomposition - SVD) é uma técnica para determinar relações entre dados, sendo utilizada no projeto de sistemas de recomendação. Considere a matriz

A = $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$ ,

e sua decomposição em valores singulares dada por $A = U \sum V^T$ . Nesse caso, avalie se as afirmativas a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) Os elementos da diagonal principal de $\sum$ são $\sqrt {26}$ e $\sqrt 6$ .

( ) Os elementos da primeira coluna da matriz U podem ser dados por ${ \large 2 \over \sqrt {13}}$ e ${ \large 3 \over \sqrt {13}}$ .

( ) Os elementos da primeira coluna da matriz V podem ser dados por $-{ \large 3 \over \sqrt {13}}$ e ${ \large 2 \over \sqrt {13}}$ .

As afirmativas são, respectivamente,

AV – V – V.
BF – V – V.
CF – F – V.
DF – F – F.
EF – V – F.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — F – V – F.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Decomposição em Valores Singulares (SVD)

Gabarito: letra E — a sequência correta é F – V – F. A primeira afirmativa é falsa porque os valores singulares de $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$ são $\sqrt{26}$ e $0$ (não $\sqrt{6}$ ); a segunda é verdadeira, pois a primeira coluna de $U$ é $\begin{bmatrix} 2/\sqrt{13} \\ 3/\sqrt{13} \end{bmatrix}$ ; e a terceira é falsa, pois a primeira coluna de $V$ é $\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$ (não os valores com sinal trocado apresentados).

A SVD é uma fatoração que decompõe qualquer matriz $A$ (de dimensão $m \times n$ ) no produto $A = U \Sigma V^T$ , onde $U$ é uma matriz ortogonal $m \times m$ , $\Sigma$ é uma matriz diagonal $m \times n$ com os valores singulares (raízes quadradas dos autovalores de $A^T A$ ) na diagonal principal, e $V$ é uma matriz ortogonal $n \times n$ . Essa decomposição é amplamente usada em sistemas de recomendação, compressão de dados e análise de componentes principais, pois permite identificar as direções de maior variabilidade dos dados.

Para a matriz dada, o primeiro passo é calcular $A^T A$ :

A^T A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 13 \\ 13 & 13 \end{bmatrix}

Os autovalores de $A^T A$ são as raízes do polinômio característico $\det(A^T A - \lambda I) = 0$ :

\det\begin{bmatrix} 13-\lambda & 13 \\ 13 & 13-\lambda \end{bmatrix} = (13-\lambda)^2 - 169 = \lambda^2 - 26\lambda = \lambda(\lambda - 26)

Portanto, os autovalores são $\lambda_1 = 26$ e $\lambda_2 = 0$ . Os valores singulares são as raízes quadradas desses autovalores: $\sigma_1 = \sqrt{26}$ e $\sigma_2 = 0$ . Assim, a diagonal de $\Sigma$ é $\sqrt{26}$ e $0$ , não $\sqrt{6}$ .

Para encontrar $U$ , calculamos os autovetores de $A A^T$ :

A A^T = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 12 & 18 \end{bmatrix}

Os autovalores de $A A^T$ são os mesmos de $A^T A$ (26 e 0). Para $\lambda = 26$ , resolvemos $(A A^T - 26I)v = 0$ :

\begin{bmatrix} -18 & 12 \\ 12 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow -18x + 12y = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x

Escolhendo $x = 2$ , temos $y = 3$ , então o autovetor é $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ . Normalizando: $\|v\| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ , logo a primeira coluna de $U$ é $\begin{bmatrix} 2/\sqrt{13} \\ 3/\sqrt{13} \end{bmatrix}$ .

Para encontrar $V$ , calculamos os autovetores de $A^T A$ :

A^T A = \begin{bmatrix} 13 & 13 \\ 13 & 13 \end{bmatrix}

Para $\lambda = 26$ , resolvemos $(A^T A - 26I)v = 0$ :

\begin{bmatrix} -13 & 13 \\ 13 & -13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow -13x + 13y = 0 \Rightarrow x = y

Escolhendo $x = 1$ , temos $y = 1$ , então o autovetor é $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ . Normalizando: $\|v\| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ , logo a primeira coluna de $V$ é $\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$ .

A terceira afirmativa apresenta $\begin{bmatrix} -3/\sqrt{13} \\ 2/\sqrt{13} \end{bmatrix}$ , que não corresponde a nenhum autovetor normalizado de $A^T A$ — é um distrator que mistura os componentes de $U$ com sinais trocados.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca os valores singulares (coloca $\sqrt{6}$ em vez de $0$ ) e inverte os sinais dos componentes de $V$ para confundir. Lembre-se: os valores singulares são sempre não negativos e, para uma matriz de posto 1, o segundo é zero. Além disso, $U$ e $V$ são matrizes ortogonais, então suas colunas devem ser ortonormais — verifique sempre a norma.

Afirmativa	Valor apresentado	Valor correto (SVD)	Veredito
1ª — diagonal de Σ	$\sqrt{26}$ e $\sqrt{6}$	$\sqrt{26}$ e $0$	F
2ª — 1ª coluna de U	$\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ e $\dfrac{3}{\sqrt{13}}$	$\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ e $\dfrac{3}{\sqrt{13}}$	V
3ª — 1ª coluna de V	$-\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ e $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ e $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	F

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência é V – V – V. Como a primeira afirmativa é falsa (os valores singulares são $\sqrt{26}$ e $0$ , não $\sqrt{6}$ ), a sequência não pode começar com V.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência é F – V – V. A segunda afirmativa é verdadeira, mas a terceira é falsa (a primeira coluna de $V$ é $\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$ , não os valores com sinal trocado).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência é F – F – V. A segunda afirmativa é verdadeira (a primeira coluna de $U$ é $\begin{bmatrix} 2/\sqrt{13} \\ 3/\sqrt{13} \end{bmatrix}$ ), então a sequência não pode ter F na segunda posição.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a sequência é F – F – F. A segunda afirmativa é verdadeira, então a sequência não pode ter F na segunda posição.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A sequência correta é F – V – F: a primeira é falsa (valores singulares $\sqrt{26}$ e $0$ ), a segunda é verdadeira (primeira coluna de $U$ normalizada) e a terceira é falsa (primeira coluna de $V$ é $\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$ ).

Gabarito: letra E

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