Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Matriz de rotação no plano

Gabarito: letra D. A rotação anti-horária de 30° de um vetor $[a \; b]$ é obtida multiplicando-o pela matriz de rotação $R(30°) = \begin{bmatrix} \cos 30° & -\sin 30° \\ \sin 30° & \cos 30° \end{bmatrix}$, o que resulta em $\left[\frac{\sqrt{3}}{2}a - \frac{b}{2} \;\; \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}b\right]$ — exatamente a alternativa D.

A matriz de rotação é uma ferramenta da geometria analítica e da álgebra linear que transforma as coordenadas de um vetor (ou ponto) quando ele é girado em torno da origem, sem alterar seu comprimento. No plano, a rotação de um ângulo $\theta$ no sentido anti-horário é representada pela matriz:

Para aplicar a rotação a um vetor $\vec{v} = [a \; b]$, multiplicamos a matriz pelo vetor (escrito como coluna):

No caso específico, $\theta = 30°$. Os valores notáveis são $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin 30° = \frac{1}{2}$. Substituindo na fórmula geral:

• Primeira coordenada: $a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - b \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a - \frac{b}{2}$

• Segunda coordenada: $a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}b$

Portanto, o novo vetor é $\left[\frac{\sqrt{3}}{2}a - \frac{b}{2} \;\; \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}b\right]$.

A pegadinha clássica dessa questão é inverter os sinais: trocar o sinal de menos na primeira coordenada (que viraria $+\frac{b}{2}$) ou inverter as posições de seno e cosseno. A banca também pode confundir o sentido da rotação (horário vs. anti-horário), o que mudaria o sinal do termo com seno. Para acertar, é essencial lembrar a estrutura da matriz: na primeira linha, cosseno e menos seno; na segunda, seno e cosseno.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A primeira coordenada está correta ($\frac{\sqrt{3}}{2}a + \frac{b}{2}$), mas a segunda está errada: $\frac{a}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}b$. O erro está no sinal do termo com $b$: na rotação anti-horária, a segunda coordenada é $a\sin\theta + b\cos\theta$, ou seja, $\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}b$. O sinal negativo apareceria se a rotação fosse no sentido horário.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa inverte completamente a estrutura da matriz. A primeira coordenada $(-\frac{\sqrt{3}}{2}b - \frac{a}{2})$ não corresponde a nenhuma rotação padrão: mistura os sinais e coloca o seno e o cosseno em posições trocadas. A segunda coordenada $\frac{b}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}a$ também está errada. Parece uma tentativa de aplicar a matriz transposta ou com sinais invertidos, mas não corresponde à rotação de 30° anti-horária.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A segunda coordenada está correta ($\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}b$), mas a primeira está errada: $\frac{\sqrt{3}}{2}a + \frac{b}{2}$. O erro está no sinal do termo com $b$: na rotação anti-horária, a primeira coordenada é $a\cos\theta - b\sin\theta$, ou seja, $\frac{\sqrt{3}}{2}a - \frac{b}{2}$. O sinal positivo corresponderia a uma rotação no sentido horário.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a aplicação correta da matriz de rotação. Primeira coordenada: $a\cos 30° - b\sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}a - \frac{b}{2}$. Segunda coordenada: $a\sin 30° + b\cos 30° = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}b$. O resultado é exatamente $\left[\frac{\sqrt{3}}{2}a - \frac{b}{2} \;\; \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}b\right]$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A primeira coordenada $(-\frac{\sqrt{3}}{2}b + \frac{a}{2})$ está errada: o termo com $b$ deveria ser $-\frac{b}{2}$, não $-\frac{\sqrt{3}}{2}b$. A segunda coordenada $\frac{b}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}a$ também está errada: o termo com $a$ deveria ser $\frac{a}{2}$, não $\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Esta alternativa troca os coeficientes de $a$ e $b$, confundindo cosseno com seno.

Gabarito: letra D