Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Reflexão em torno do eixo y

Gabarito: letra E. A matriz canônica que representa a reflexão de um vetor em relação ao eixo y é $\begin{bmatrix} -1&0\\0&1 \end{bmatrix}$, pois ela inverte o sinal da coordenada x e mantém a coordenada y inalterada. Essa é a definição geométrica da reflexão em torno do eixo vertical.

A reflexão é uma transformação geométrica que "espelha" uma figura em relação a uma reta (o eixo de reflexão). No plano cartesiano, refletir um ponto $(x, y)$ em relação ao eixo y significa obter o ponto $(-x, y)$: a distância ao eixo é preservada, mas o ponto passa para o lado oposto. A matriz que realiza essa operação é a que, ao ser multiplicada pelo vetor coluna $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$, produz $\begin{bmatrix} -x \\ y \end{bmatrix}$. Isso ocorre exatamente quando a matriz é $\begin{bmatrix} -1&0\\0&1 \end{bmatrix}$.

Para entender por que as outras matrizes estão erradas, é útil conhecer as matrizes canônicas das principais transformações lineares no plano:

A pegadinha clássica da banca é inverter os eixos: a matriz da reflexão no eixo x é $\begin{bmatrix} 1&0\\0&-1 \end{bmatrix}$, e a do eixo y é $\begin{bmatrix} -1&0\\0&1 \end{bmatrix}$. Muitos candidatos confundem as duas, trocando a posição do sinal negativo. Outra confusão comum é misturar com a rotação de 90° ou com a reflexão na origem.

Guarde a regra de ouro: o sinal negativo aparece na coordenada que é perpendicular ao eixo de reflexão. Refletir no eixo y (vertical) inverte a coordenada x (horizontal); refletir no eixo x (horizontal) inverte a coordenada y (vertical). É exatamente esse critério que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta é a matriz de reflexão em relação ao eixo x, não ao eixo y. Ela mantém a coordenada x e inverte a coordenada y: $(x, y) \rightarrow (x, -y)$. A banca troca o eixo de reflexão — o sinal negativo está na posição errada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta matriz representa a reflexão em relação à reta $y = x$, que troca as coordenadas: $(x, y) \rightarrow (y, x)$. Não é uma reflexão em torno de um eixo coordenado, mas sim em torno de uma reta diagonal.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta é a matriz de rotação de 90° no sentido anti-horário: $(x, y) \rightarrow (-y, x)$. Ela não é uma reflexão, mas uma rotação — a banca confunde transformações geométricas distintas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta matriz representa a reflexão em relação à origem (ou rotação de 180°): $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$. Ela inverte ambas as coordenadas, enquanto a reflexão no eixo y inverte apenas a coordenada x.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A matriz $\begin{bmatrix} -1&0\\0&1 \end{bmatrix}$ aplicada ao vetor $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ resulta em $\begin{bmatrix} -x \\ y \end{bmatrix}$, que é exatamente a definição de reflexão em torno do eixo y: a coordenada x muda de sinal e a coordenada y permanece igual.

Gabarito: letra E