Questão de Matemática — Função de Primeiro Grau — FGV 2024

Inclinação da reta: coeficiente angular

Gabarito: letra B — a inclinação da reta $2x+3y-6=0$ é $m = -\frac{2}{3}$. Isso porque, ao isolar $y$, obtemos $y = -\frac{2}{3}x + 2$, e o coeficiente de $x$ é exatamente o coeficiente angular (a inclinação) da reta.

A inclinação de uma reta, também chamada de coeficiente angular ou declividade, é o número que mede o quanto a reta está "inclinada" em relação ao eixo horizontal ($x$). Em uma função afim da forma $y = ax + b$, o coeficiente $a$ é a inclinação: ele indica a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo $x$, no sentido anti-horário. Se $a > 0$, a reta é crescente; se $a < 0$, é decrescente. O coeficiente $b$ é o coeficiente linear, que indica onde a reta corta o eixo $y$.

Para encontrar a inclinação a partir de uma equação geral da reta, como $2x+3y-6=0$, o procedimento é isolar $y$ para deixar a equação na forma reduzida $y = mx + n$:

1. Subtraia $2x$ de ambos os lados: $3y = -2x + 6$.

2. Divida tudo por $3$: $y = -\frac{2}{3}x + 2$.

Agora, comparando com $y = mx + n$, temos $m = -\frac{2}{3}$ e $n = 2$. Portanto, a inclinação é $-\frac{2}{3}$.

Uma forma alternativa e mais rápida é usar a fórmula direta: para uma reta na forma geral $Ax + By + C = 0$, o coeficiente angular é $m = -\frac{A}{B}$. Aplicando: $A = 2$, $B = 3$, logo $m = -\frac{2}{3}$. Essa fórmula evita o passo a passo do isolamento e é muito útil em provas.

A pegadinha clássica desta questão é inverter a fração ou esquecer o sinal negativo. O candidato apressado pode calcular $\frac{2}{3}$ (esquecendo o sinal) ou $\frac{3}{2}$ (invertendo os coeficientes). A banca explora exatamente essa confusão entre o coeficiente de $x$ e o de $y$, e entre o sinal positivo e negativo.

Guarde o critério decisivo: a inclinação é sempre o coeficiente de $x$ após isolar $y$ — ou, na forma geral, $m = -A/B$. É nesse ponto que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{2}{3}$ como inclinação. Esse valor corresponde ao módulo do coeficiente angular, mas sem o sinal negativo. O erro está em ignorar o sinal de $A$ na fórmula $m = -A/B$: como $A = 2$ e $B = 3$, o resultado é negativo. Quem marca esta opção provavelmente calculou $A/B$ sem aplicar o sinal de menos.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A inclinação é $-\frac{2}{3}$. Isolando $y$ na equação $2x+3y-6=0$, obtemos $y = -\frac{2}{3}x + 2$, e o coeficiente de $x$ é $-\frac{2}{3}$. Alternativamente, pela fórmula $m = -A/B = -2/3$. O sinal negativo indica que a reta é decrescente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{3}{2}$. Esse valor é o inverso do coeficiente angular correto, sem o sinal. O candidato que marca esta opção provavelmente inverteu os coeficientes $A$ e $B$ na fórmula, calculando $B/A$ em vez de $-A/B$. O correto é $m = -A/B = -2/3$, não $3/2$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $-\frac{3}{2}$. Esse valor é o inverso do coeficiente angular correto, com o sinal negativo. O erro é o mesmo da alternativa C: inverter $A$ e $B$ na fórmula. O correto é $m = -A/B = -2/3$, não $-3/2$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $3$. Esse número não corresponde a nenhum coeficiente da equação original. Provavelmente o candidato confundiu o coeficiente $B$ (que é 3) com a inclinação, ou fez uma manipulação algébrica incorreta ao isolar $y$. A inclinação correta é $-\frac{2}{3}$.

Gabarito: letra B