Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Cônicas: identificação pelas equações

Gabarito: letra A — a relação correta é 4 – 3 – 1 – 2. A equação $y = ax^2 + bx + c$ é a forma geral da parábola (função quadrática); $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ é a equação reduzida da hipérbole; $x^2 + y^2 = r^2$ é a equação da circunferência com centro na origem; e $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ é a equação reduzida da elipse com centro na origem e eixo maior horizontal.

As cônicas — circunferência, elipse, hipérbole e parábola — são curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone, e cada uma tem uma equação característica na geometria analítica. A chave para identificá-las está no sinal e na estrutura dos termos quadráticos. Vamos analisar cada uma:

• Parábola: é o gráfico de uma função do segundo grau, $y = ax^2 + bx + c$ (com $a \neq 0$). Aqui, apenas uma das variáveis aparece ao quadrado. A concavidade é definida pelo sinal de $a$: se $a > 0$, concavidade para cima; se $a < 0$, para baixo. O vértice é o ponto de máximo ou mínimo.

• Circunferência: é o conjunto de pontos que estão a uma distância fixa (o raio $r$) de um ponto central. Com centro na origem, a equação é $x^2 + y^2 = r^2$. Os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ são iguais e positivos, e não há termo cruzado $xy$.

• Elipse: é o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. Com centro na origem e eixo maior horizontal, a equação é $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, onde $a > b > 0$. A soma dos termos quadráticos é igual a 1, com denominadores diferentes.

• Hipérbole: é o conjunto de pontos cuja diferença das distâncias a dois focos é constante. Com centro na origem e eixo real horizontal, a equação é $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. A diferença crucial é o sinal de menos entre os termos.

A pegadinha desta questão é justamente a semelhança entre as equações da elipse e da hipérbole: ambas têm a forma $\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} = 1$. A única diferença é o sinal — mais para elipse, menos para hipérbole. O candidato que confunde esses sinais troca as duas primeiras posições da sequência.

Para fixar, veja a comparação:

Guarde o critério decisivo: sinal entre os termos quadráticos separa elipse (soma) de hipérbole (diferença), e coeficientes iguais separam circunferência de elipse. É exatamente nesses dois pontos que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A sequência 4 – 3 – 1 – 2 associa corretamente: $y = ax^2 + bx + c$ à parábola (4), $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ à hipérbole (3), $x^2 + y^2 = r^2$ ao círculo (1) e $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ à elipse (2). Cada equação é a forma reduzida canônica da respectiva cônica com centro na origem.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A sequência 4 – 2 – 1 – 3 troca a hipérbole pela elipse na segunda posição. A equação $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ tem sinal de menos entre os termos, o que a caracteriza como hipérbole, não elipse. A elipse exige soma dos termos ($+$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A sequência 4 – 3 – 2 – 1 troca a elipse pela circunferência nas duas últimas posições. A equação $x^2 + y^2 = r^2$ representa o círculo (1), e $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ representa a elipse (2). A ordem correta é 1 – 2, não 2 – 1.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A sequência 3 – 2 – 1 – 4 começa errada: a primeira equação $y = ax^2 + bx + c$ é a parábola (4), não a hipérbole (3). Além disso, a segunda equação $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ é a hipérbole, não a elipse. A ordem correta para as duas primeiras é 4 – 3.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A sequência 3 – 1 – 2 – 4 também começa errada: $y = ax^2 + bx + c$ é a parábola (4), não a hipérbole (3). E a equação $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ é a hipérbole, não o círculo (1). A ordem correta é 4 – 3 – 1 – 2.

Gabarito: letra A