Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164420

Matrizes: produto (A+B)(A−B) e potência 2024

Gabarito: letra A. O produto $(A+B)(A-B)$ não é $A^2 - B^2$ porque as matrizes não comutam ( $AB \neq BA$ ); desenvolvendo, obtém-se $A^2 - AB + BA - B^2 = I - AB + BA - I = BA - AB$ . Como $AB$ e $BA$ são dadas, calcula-se $BA - AB = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$ , e a potência $(A-B)^{2024}$ é a matriz nula, pois $(A-B)^2 = 0$ . Portanto, o produto inteiro é a matriz nula.

A questão explora um dos pontos mais traiçoeiros da álgebra de matrizes: a não comutatividade do produto. Enquanto para números reais $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ vale sempre, para matrizes isso só é verdade se $AB = BA$ , ou seja, se as matrizes comutam. No caso geral, o desenvolvimento correto é:

(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2

O termo $-AB + BA$ não se anula a menos que $AB = BA$ . No problema, temos $AB = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ e $BA = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ , que são claramente diferentes — as matrizes não comutam. Assim, o produto vale:

(A+B)(A-B) = I - AB + BA - I = BA - AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}

Agora, o passo crucial: calcular $(A-B)^2$ . Usando a definição de potência de matriz:

(A-B)^2 = (A-B)(A-B) = A^2 - AB - BA + B^2 = I - AB - BA + I = 2I - (AB + BA)

Substituindo os valores:

AB + BA = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 2I

Portanto, $(A-B)^2 = 2I - 2I = 0$ (matriz nula). Isso significa que a matriz $A-B$ é nilpotente de índice 2: qualquer potência com expoente maior ou igual a 2 é a matriz nula. Como $2024 \geq 2$ , temos $(A-B)^{2024} = 0$ .

Consequentemente, o produto pedido é:

(A+B)(A-B)^{2024} = (A+B) \cdot 0 = 0

A resposta é a matriz nula $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ .

A pegadinha central é tentar aplicar o produto notável $A^2 - B^2$ diretamente, ignorando a não comutatividade. A banca fornece $AB$ e $BA$ diferentes justamente para forçar o desenvolvimento completo. Além disso, o expoente 2024 (par e grande) pode sugerir que a potência não se anula, mas a nilpotência de $A-B$ resolve a questão independentemente do expoente, desde que seja $\geq 2$ .

1Não comutam (AB≠BA)
2(A+B)(A−B)=BA−AB
3Calcular BA−AB
4(A−B)²=2I−(AB+BA)
5AB+BA=2I ⇒ (A−B)²=0
6Potência 2024 é nula
7Produto = matriz nula

LEVEL · soulevel.com.br

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $(A-B)^2 = 0$ , logo $(A-B)^{2024} = 0$ e o produto $(A+B)(A-B)^{2024} = 0$ . A matriz nula $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ é exatamente o resultado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A matriz identidade $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ seria o resultado se o produto fosse $A^2 - B^2 = I - I = 0$ ? Não — na verdade, $A^2 - B^2 = 0$ também, mas o produto não é $A^2 - B^2$ . A alternativa confunde o produto com a identidade, talvez pensando que $(A+B)(A-B)^{2024}$ de alguma forma resulta em $I$ , o que não ocorre.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A matriz $\begin{bmatrix} 2024 & 1 \\ 0 & 2024 \end{bmatrix}$ não tem relação com o resultado. O número 2024 aparece apenas como expoente, não como elemento da matriz. A alternativa parece sugerir que a potência de uma matriz resulta em uma matriz com o expoente na diagonal, o que é um erro conceitual.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A matriz $\begin{bmatrix} 2024 & 1 \\ 0 & -2024 \end{bmatrix}$ também usa o expoente como elemento, com um sinal negativo que não tem fundamento. Não há nenhuma operação que produza esses valores.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A matriz $\begin{bmatrix} 2024 & 0 \\ 0 & 2024 \end{bmatrix}$ repete o erro de usar o expoente como elemento da diagonal. A potência de uma matriz não é calculada elevando cada elemento ao expoente; é uma multiplicação sucessiva da matriz inteira.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato aplicar o produto notável $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ sem verificar a comutação. Como $AB \neq BA$ , o desenvolvimento correto inclui o termo $BA - AB$ . Além disso, o expoente 2024 (grande e par) pode sugerir que a potência não se anula, mas a nilpotência de $A-B$ (índice 2) resolve tudo: qualquer potência com expoente $\geq 2$ é nula. Fique atento: sempre verifique se as matrizes comutam antes de usar produtos notáveis.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões com potências de matrizes, calcule primeiro as potências baixas ( $(A-B)^2$ , $(A-B)^3$ ) e procure um padrão. Se encontrar uma matriz nilpotente (alguma potência é nula), todas as potências seguintes também serão nulas. Isso elimina a necessidade de calcular potências altas diretamente.

Gabarito: letra A