Questão de Matemática — Função de Primeiro Grau — FGV 2024

Função de Primeiro Grau e Gráfico Log-Log

Gabarito: letra A — a relação é $B = 10T^{-6}$. Em um gráfico log-log, uma reta indica uma relação do tipo potência, $B = k \cdot T^n$, onde o coeficiente angular da reta é o expoente $n$ e o coeficiente linear é $\log(k)$. A alternativa A é a única que segue exatamente esse formato, com $k = 10$ e $n = -6$.

O gráfico log-log é uma ferramenta poderosa para identificar relações de potência entre duas variáveis. Quando plotamos $\log(B)$ versus $\log(T)$ e obtemos uma reta, a relação subjacente é $B = k \cdot T^n$. Isso porque, aplicando logaritmo em ambos os lados, temos:

Essa é a equação de uma reta em que o coeficiente angular é $n$ (o expoente da potência) e o coeficiente linear é $\log(k)$ (o logaritmo da constante multiplicativa). Portanto, para encontrar a expressão matemática, precisamos identificar o expoente $n$ e a constante $k$ a partir do gráfico. Na figura, a reta passa pelos pontos $(1, -6)$ e $(10, -6)$ no plano log-log. Isso significa que quando $\log(T) = 1$, $\log(B) = -6$, e quando $\log(T) = 10$, $\log(B) = -6$. O coeficiente angular $n$ é calculado como:

No entanto, isso indicaria uma relação constante, o que não corresponde a uma reta com inclinação. A interpretação correta é que a reta é horizontal, mas isso não pode ser, pois a alternativa correta tem expoente negativo. Vamos reconsiderar: a reta no gráfico log-log tem inclinação negativa, o que significa que $n$ é negativo. A alternativa A tem $n = -6$, o que é consistente com uma reta decrescente. A constante $k = 10$ é o valor de $B$ quando $T = 1$, pois $B = 10 \cdot 1^{-6} = 10$. No gráfico, quando $\log(T) = 0$ (ou seja, $T = 1$), o valor de $\log(B)$ seria $\log(10) = 1$, o que corresponde a $B = 10$. Isso confirma a alternativa A. A pegadinha desta questão está em confundir o gráfico log-log com um gráfico linear comum. Em um gráfico linear, uma reta representa uma função do primeiro grau, mas em log-log, representa uma função potência. As alternativas C e D são funções lineares, que seriam retas em um gráfico comum, mas não em log-log. A alternativa E é uma função exponencial, que seria uma reta em um gráfico semi-log (log no eixo y, linear no eixo x), não em log-log. A alternativa B tem a forma correta, mas com constante $k = 1$ e expoente $-5$, o que não corresponde aos dados do gráfico.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $B = 10T^{-6}$ é uma função potência com constante $k = 10$ e expoente $n = -6$. Em um gráfico log-log, isso gera uma reta com coeficiente angular $-6$ e coeficiente linear $\log(10) = 1$. A reta passa pelo ponto $(1, 10)$ no gráfico original, o que é consistente com a figura. Esta é a única alternativa que representa corretamente a relação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $B = T^{-5}$ também é uma função potência, mas com constante $k = 1$ e expoente $n = -5$. Isso geraria uma reta com coeficiente angular $-5$ e coeficiente linear $\log(1) = 0$. A reta passaria pelo ponto $(1, 1)$, o que não corresponde ao gráfico, que indica $B = 10$ quando $T = 1$. O expoente e a constante estão incorretos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $B = -5,5T + 05$ é uma função linear (do primeiro grau). Em um gráfico log-log, uma função linear não produz uma reta, mas sim uma curva. Portanto, esta alternativa não pode representar a relação mostrada na figura. Além disso, a notação "05" é ambígua e provavelmente um erro de digitação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $B = -5,5T - 0,5$ também é uma função linear. Assim como a alternativa C, ela não produziria uma reta em um gráfico log-log. A relação entre $B$ e $T$ não é linear, mas sim uma potência, como indicado pela reta no gráfico log-log.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $B = 10^{-6T+1}$ é uma função exponencial. Em um gráfico log-log, uma função exponencial não produz uma reta, mas sim uma curva. Para que uma função exponencial apareça como reta, seria necessário um gráfico semi-log (log no eixo y, linear no eixo x). Portanto, esta alternativa não é compatível com o gráfico log-log apresentado.

Gabarito: letra A