Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

Classificador de mínima distância (Fronteira de decisão)

Gabarito: letra D. A equação da reta que separa as classes é $x_1 + 3x_2 = 8$, obtida substituindo as médias $m_1 = (4,3)^T$ e $m_2 = (3,0)^T$ na fórmula do classificador de mínima distância e simplificando a expressão. O cálculo envolve operações com vetores (transposição, subtração, soma e produto interno) e resulta na equação linear que define a fronteira de decisão.

O classificador de mínima distância é um método de classificação supervisionada que atribui uma amostra à classe cuja média (centroide) está mais próxima, segundo uma métrica de distância. A fronteira de decisão entre duas classes $i$ e $j$ é o conjunto de pontos onde as distâncias às duas médias são iguais, ou seja, onde a diferença das distâncias ao quadrado é zero. A equação fornecida, $d_{ij} = (m_i - m_j)^T x - \frac{1}{2}(m_i-m_j)^T(m_i + m_j)=0$, é exatamente essa condição: o primeiro termo é a diferença das projeções, e o segundo é um termo constante que ajusta a posição da fronteira.

Para resolver, vamos calcular passo a passo. Primeiro, identificamos os vetores diferença e soma:

• $m_1 - m_2 = (4-3, 3-0)^T = (1, 3)^T$

• $m_1 + m_2 = (4+3, 3+0)^T = (7, 3)^T$

Agora, substituímos na equação. O termo $(m_i - m_j)^T x$ é o produto interno do vetor diferença com o vetor $x = (x_1, x_2)^T$:

$(1, 3) \cdot (x_1, x_2) = x_1 + 3x_2$

O termo constante é $\frac{1}{2}(m_i-m_j)^T(m_i + m_j)$, que é o produto interno dos dois vetores dividido por 2:

$\frac{1}{2} (1, 3) \cdot (7, 3) = \frac{1}{2} (1\cdot 7 + 3\cdot 3) = \frac{1}{2} (7 + 9) = \frac{16}{2} = 8$

Portanto, a equação da fronteira é:

$x_1 + 3x_2 - 8 = 0 \Rightarrow x_1 + 3x_2 = 8$

Essa é a reta que separa as duas classes. A banca explora a confusão entre o termo constante e o valor final da equação: muitos candidatos podem calcular o termo constante (8) e, por engano, igualá-lo a outro número, ou podem errar na soma dos vetores. A chave é fazer a conta com calma e verificar cada passo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $x_1 + 3x_2 = 5$ tem o coeficiente angular correto (1 e 3), mas o termo constante está errado. O valor 5 não corresponde a nenhum dos cálculos intermediários: a soma dos vetores é $(7,3)$, cujo produto interno com $(1,3)$ é $7 + 9 = 16$, e a metade disso é 8, não 5. O candidato que erra aqui provavelmente cometeu um erro aritmético na soma ou na divisão.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $3x_1 = 7$ é uma reta vertical, o que não faz sentido para a fronteira entre as duas classes, pois ela ignora completamente a coordenada $x_2$. Além disso, o coeficiente 3 e a constante 7 não aparecem em nenhum passo da derivação. Essa alternativa parece ter sido construída a partir de elementos isolados dos vetores (o 3 de $m_1$ e o 7 da soma), sem aplicar a fórmula corretamente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $4x_1 + 3x_2 = 6$ usa os coeficientes 4 e 3, que são as coordenadas de $m_1$, mas isso é um erro conceitual: a fronteira não é definida pelas médias diretamente, mas pela diferença entre elas. O vetor diferença é $(1,3)$, não $(4,3)$. A constante 6 também não corresponde a nenhum cálculo válido.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $x_1 + 3x_2 = 8$ é exatamente o resultado da aplicação da fórmula. O coeficiente de $x_1$ é 1 (primeira componente de $m_1 - m_2$), o coeficiente de $x_2$ é 3 (segunda componente), e a constante 8 é a metade do produto interno de $(1,3)$ com $(7,3)$. Essa é a fronteira de decisão correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação $4x_1 + 3x_2 = 10$ mistura os coeficientes de $m_1$ (4 e 3) com uma constante 10 que não deriva de nenhum cálculo. O candidato que escolhe essa opção provavelmente confundiu a média da classe 1 com o vetor diferença e errou no termo constante. A resposta correta usa o vetor diferença $(1,3)$, não a média $(4,3)$.

Gabarito: letra D