Questão de Matemática — Números Reais (Propriedades e Operações; Intervalos) — FGV 2024

Método da Bissecção

Gabarito: letra D. Na primeira iteração, como $f(a_0) < 0$ e $f(x_0) > 0$, a raiz está entre $a_0$ e $x_0$, então o novo intervalo é $[a_1, b_1] = [a_0, x_0]$. Na segunda iteração, como $f(a_1) < 0$ e $f(x_1) < 0$, a raiz está entre $x_1$ e $b_1$, então o novo intervalo é $[a_2, b_2] = [x_1, b_1]$. A alternativa que reflete exatamente essas atribuições é a letra D.

O método da bissecção é um algoritmo numérico para encontrar raízes de funções contínuas. Ele se baseia no Teorema do Valor Intermediário: se uma função contínua $f$ assume valores de sinais opostos nos extremos de um intervalo $[a, b]$ (ou seja, $f(a) \cdot f(b) < 0$), então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. O método funciona reduzindo o intervalo pela metade a cada iteração, sempre mantendo a raiz dentro do novo intervalo.

A cada iteração $K$, calcula-se o ponto médio $x_K = \frac{a_K + b_K}{2}$ e avalia-se $f(x_K)$. A regra de atualização é:

• Se $f(a_K) \cdot f(x_K) < 0$, a raiz está entre $a_K$ e $x_K$, então o novo intervalo é $[a_{K+1}, b_{K+1}] = [a_K, x_K]$.

• Se $f(x_K) \cdot f(b_K) < 0$, a raiz está entre $x_K$ e $b_K$, então o novo intervalo é $[a_{K+1}, b_{K+1}] = [x_K, b_K]$.

Vamos aplicar isso ao problema:

Primeira iteração ($K=0$):

• Intervalo inicial: $[a_0, b_0]$ com $f(a_0) < 0$ e $f(b_0) > 0$.

• Ponto médio: $x_0 = \frac{a_0 + b_0}{2}$.

• Como $f(x_0) > 0$, temos $f(a_0) < 0$ e $f(x_0) > 0$, então a raiz está entre $a_0$ e $x_0$.

• Novo intervalo: $[a_1, b_1] = [a_0, x_0]$.

Segunda iteração ($K=1$):

• Intervalo atual: $[a_1, b_1]$ com $f(a_1) < 0$ e $f(b_1) > 0$.

• Ponto médio: $x_1 = \frac{a_1 + b_1}{2}$.

• Como $f(x_1) < 0$, temos $f(x_1) < 0$ e $f(b_1) > 0$, então a raiz está entre $x_1$ e $b_1$.

• Novo intervalo: $[a_2, b_2] = [x_1, b_1]$.

Portanto, as atribuições corretas são: $a_1 = a_0$, $b_1 = x_0$, $a_2 = x_1$ e $b_2 = b_1$.

A pegadinha clássica é inverter os limites: trocar $a$ por $b$ ou usar o ponto médio como extremo errado. É fundamental lembrar que o novo intervalo sempre mantém a raiz dentro, ou seja, os sinais de $f$ nos extremos devem ser opostos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Atribui $a_1 = b_0$ e $b_1 = a_0$, invertendo os extremos do intervalo inicial. Isso está errado porque o novo intervalo deve ser $[a_0, x_0]$, não $[b_0, a_0]$. Além disso, $a_2 = b_1$ e $b_2 = x_1$ também não seguem a regra.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Atribui $a_1 = x_0$ e $b_1 = b_0$. Isso estaria correto se $f(x_0)$ tivesse o mesmo sinal de $f(a_0)$, mas aqui $f(x_0) > 0$ e $f(a_0) < 0$, então a raiz está à esquerda de $x_0$, não à direita. O erro está em usar $x_0$ como novo extremo inferior.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Atribui $a_1 = a_0$ e $b_1 = x_0$ (correto na primeira iteração), mas na segunda iteração faz $a_2 = a_1$ e $b_2 = x_1$. Isso está errado porque, como $f(x_1) < 0$ e $f(a_1) < 0$, a raiz não está entre $a_1$ e $x_1$; ela está entre $x_1$ e $b_1$. O erro está em manter $a_2 = a_1$ em vez de atualizar para $x_1$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Atribui $a_1 = a_0$, $b_1 = x_0$, $a_2 = x_1$ e $b_2 = b_1$. Isso segue exatamente a regra: na primeira iteração, como $f(a_0) < 0$ e $f(x_0) > 0$, o novo intervalo é $[a_0, x_0]$; na segunda, como $f(x_1) < 0$ e $f(b_1) > 0$, o novo intervalo é $[x_1, b_1]$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Atribui $a_1 = b_0$ e $b_1 = x_0$, o que já está errado na primeira iteração (inverte os extremos). Além disso, $a_2 = b_1$ e $b_2 = x_1$ também não seguem a regra.

Gabarito: letra D