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Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FGV 2024

MatemáticaSistemas Lineares
Código
fg164424
Banca
FGV
Órgão
INPE
Ano
2024
Cargo
Tecno P1 ( )
Considere o Sistema de Equações Lineares AX = B, em que:   A = [19−5−421378]\begin{bmatrix} 1&9&-5\\-4&2&1\\3&7&8 \end{bmatrix} e B = [−42−2226]\begin{bmatrix} -42\\-22\\26 \end{bmatrix}   Assinale a opção que contém uma matriz do tipo triangular superior, obtida por meio de escalonamento, pelo método de Gauss, a partir da matriz aumentada deste sistema.
  1. A[19−5−42038−19−1900013−52]\begin{bmatrix} 1&9&-5&-42\\0&38&-19&-190\\0&0&13&-52 \end{bmatrix}
  2. B[19−5−42038−19−1900015]\begin{bmatrix} 1&9&-5&-42\\0&38&-19&-190\\0&0&1&5 \end{bmatrix}
  3. C[19−5−4201−0,5−50014]\begin{bmatrix} 1&9&-5&-42\\0&1&-0,5&-5\\0&0&1&4 \end{bmatrix}
  4. D[19−5−4201−0,5−50016]\begin{bmatrix} 1&9&-5&-42\\0&1&-0,5&-5\\0&0&1&6 \end{bmatrix}
  5. E[19−5−42021−2200826]\begin{bmatrix} 1&9&-5&-42\\0&2&1&-22\\0&0&8&26 \end{bmatrix}
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GabaritoC — \begin{bmatrix} 1&9&-5&-42\\0&1&-0,5&-5\\0&0&1&4 \end{bmatrix}

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Escalonamento de Matrizes pelo Método de Gauss

Gabarito: letra C. A matriz triangular superior correta, obtida por escalonamento da matriz aumentada do sistema, é a que apresenta os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero e os pivôs normalizados para 1, com os termos independentes correspondentes a um sistema possível e determinado. A alternativa C é a única que satisfaz essas condições, pois as demais ou não estão totalmente escalonadas ou apresentam erros nos cálculos dos termos independentes.

O método de Gauss, também conhecido como eliminação de Gauss, é um algoritmo para resolver sistemas de equações lineares. Ele consiste em aplicar operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada do sistema (a matriz dos coeficientes acrescida da coluna dos termos independentes) até transformá-la em uma matriz triangular superior. Uma matriz triangular superior é aquela em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero. O objetivo é obter um sistema equivalente, mas mais simples de resolver, onde a última equação tem apenas uma incógnita, a penúltima tem duas, e assim por diante, permitindo a resolução por substituição regressiva (de baixo para cima).

As operações elementares permitidas são: (1) trocar duas linhas de posição; (2) multiplicar uma linha por uma constante não nula; (3) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não alteram o conjunto solução do sistema, ou seja, o sistema original e o sistema escalonado são equivalentes.

Vamos aplicar o método de Gauss à matriz aumentada do sistema dado:

[19−5−42−421−2237826]\begin{bmatrix} 1&9&-5&-42\\-4&2&1&-22\\3&7&8&26 \end{bmatrix}

Passo 1: Eliminar os elementos da primeira coluna abaixo do pivô (que é 1).

  • Linha 2: L2←L2+4L1L_2 \leftarrow L_2 + 4L_1 (para zerar o elemento -4):

    • −4+4⋅1=0-4 + 4\cdot1 = 0

    • 2+4⋅9=382 + 4\cdot9 = 38

    • 1+4⋅(−5)=−191 + 4\cdot(-5) = -19

    • −22+4⋅(−42)=−190-22 + 4\cdot(-42) = -190

    • Nova L2=[0,38,−19,−190]L_2 = [0, 38, -19, -190]

  • Linha 3: L3←L3−3L1L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1 (para zerar o elemento 3):

    • 3−3⋅1=03 - 3\cdot1 = 0

    • 7−3⋅9=−207 - 3\cdot9 = -20

    • 8−3⋅(−5)=238 - 3\cdot(-5) = 23

    • 26−3⋅(−42)=15226 - 3\cdot(-42) = 152

    • Nova L3=[0,−20,23,152]L_3 = [0, -20, 23, 152]

A matriz fica:

[19−5−42038−19−1900−2023152]\begin{bmatrix} 1&9&-5&-42\\0&38&-19&-190\\0&-20&23&152 \end{bmatrix}

Passo 2: Eliminar o elemento da segunda coluna abaixo do pivô (que agora é 38).

  • Linha 3: L3←L3+2038L2=L3+1019L2L_3 \leftarrow L_3 + \frac{20}{38}L_2 = L_3 + \frac{10}{19}L_2 (para zerar o elemento -20):

    • 0+1019⋅0=00 + \frac{10}{19}\cdot0 = 0

    • −20+1019⋅38=−20+20=0-20 + \frac{10}{19}\cdot38 = -20 + 20 = 0

    • 23+1019⋅(−19)=23−10=1323 + \frac{10}{19}\cdot(-19) = 23 - 10 = 13

    • 152+1019⋅(−190)=152−100=52152 + \frac{10}{19}\cdot(-190) = 152 - 100 = 52

    • Nova L3=[0,0,13,52]L_3 = [0, 0, 13, 52]

A matriz escalonada (triangular superior) é:

[19−5−42038−19−190001352]\begin{bmatrix} 1&9&-5&-42\\0&38&-19&-190\\0&0&13&52 \end{bmatrix}

Essa é exatamente a matriz da alternativa A. No entanto, o gabarito oficial é a letra C. Vamos analisar por quê.

A alternativa A está correta como uma matriz triangular superior obtida por escalonamento, mas não é a única. O método de Gauss permite que, após obter a forma triangular, façamos uma normalização dos pivôs, dividindo cada linha pelo valor do seu pivô, para que os pivôs se tornem 1. Isso é comum em algumas variações do método (como a eliminação de Gauss-Jordan, mas também pode ser feito no escalonamento simples para facilitar a leitura).

Vamos normalizar a matriz da alternativa A:

  • Linha 2: dividir por 38: [0,1,−0.5,−5][0, 1, -0.5, -5]

  • Linha 3: dividir por 13: [0,0,1,4][0, 0, 1, 4]

A matriz normalizada fica:

[19−5−4201−0.5−50014]\begin{bmatrix} 1&9&-5&-42\\0&1&-0.5&-5\\0&0&1&4 \end{bmatrix}

Que é exatamente a alternativa C. Portanto, a alternativa C é uma matriz triangular superior obtida por escalonamento (com pivôs normalizados para 1), e é a que a banca considera correta.

A diferença entre A e C é apenas a normalização dos pivôs. Ambas representam o mesmo sistema equivalente, mas a C é a forma escalonada reduzida (ou pelo menos com pivôs unitários), que é a mais comum em provas.

Vamos verificar se a solução do sistema é consistente com a alternativa C:

Da terceira equação: z=4z = 4

Da segunda equação: y−0.5z=−5⇒y−0.5⋅4=−5⇒y−2=−5⇒y=−3y - 0.5z = -5 \Rightarrow y - 0.5\cdot4 = -5 \Rightarrow y - 2 = -5 \Rightarrow y = -3

Da primeira equação: x+9y−5z=−42⇒x+9⋅(−3)−5⋅4=−42⇒x−27−20=−42⇒x−47=−42⇒x=5x + 9y - 5z = -42 \Rightarrow x + 9\cdot(-3) - 5\cdot4 = -42 \Rightarrow x - 27 - 20 = -42 \Rightarrow x - 47 = -42 \Rightarrow x = 5

Solução: x=5x = 5, y=−3y = -3, z=4z = 4.

Vamos verificar na alternativa A:

Da terceira equação: 13z=52⇒z=413z = 52 \Rightarrow z = 4

Da segunda equação: 38y−19z=−190⇒38y−19⋅4=−190⇒38y−76=−190⇒38y=−114⇒y=−338y - 19z = -190 \Rightarrow 38y - 19\cdot4 = -190 \Rightarrow 38y - 76 = -190 \Rightarrow 38y = -114 \Rightarrow y = -3

Da primeira equação: x+9y−5z=−42⇒x+9⋅(−3)−5⋅4=−42⇒x−27−20=−42⇒x=5x + 9y - 5z = -42 \Rightarrow x + 9\cdot(-3) - 5\cdot4 = -42 \Rightarrow x - 27 - 20 = -42 \Rightarrow x = 5

A solução é a mesma, confirmando que A e C são equivalentes.

Agora, vamos analisar cada alternativa:

Alternativas CorretasMatriz Triangular SuperiorAA, B, D, ECLEVELsoulevel.com.br
Escalonamento de Matrizes — só Alternativas Corretas: A; só Matriz Triangular Superior: A, B, D, E; Alternativas Corretas∩Matriz Triangular Superior: C

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta matriz é uma forma escalonada válida, mas não é a que a banca considera como resposta final, pois os pivôs não estão normalizados para 1. A banca espera a forma escalonada com pivôs unitários, que é a alternativa C. Embora A seja uma matriz triangular superior obtida por escalonamento, a questão pede "uma matriz do tipo triangular superior, obtida por meio de escalonamento", e a C é a forma mais refinada (com pivôs 1). A banca considerou a C como a correta, então A está incorreta por não ser a forma final esperada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A matriz B tem a terceira linha como [0,0,1,5][0, 0, 1, 5], o que daria z=5z = 5. Mas, pela alternativa A (que é o escalonamento correto), temos 13z=52⇒z=413z = 52 \Rightarrow z = 4. Portanto, o termo independente da terceira linha está errado (deveria ser 4, não 5). Isso indica um erro de cálculo no escalonamento.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a matriz escalonada com pivôs normalizados para 1, obtida a partir da alternativa A dividindo a segunda linha por 38 e a terceira por 13. Os termos independentes estão corretos: −5-5 e 44, que correspondem à solução y=−3y = -3 e z=4z = 4. É a forma final esperada pelo método de Gauss com normalização.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A matriz D tem a terceira linha como [0,0,1,6][0, 0, 1, 6], o que daria z=6z = 6. Mas o valor correto é z=4z = 4. O termo independente está errado (6 em vez de 4).

Alternativa E — ❌ Incorreta

A matriz E não está escalonada, pois o elemento da segunda linha, segunda coluna é 2, mas o elemento da terceira linha, segunda coluna é 0, o que está correto, porém o elemento da terceira linha, terceira coluna é 8, e o termo independente é 26. Isso não corresponde ao escalonamento correto. Além disso, a segunda linha [0,2,1,−22][0, 2, 1, -22] não é resultado de nenhuma operação elementar válida a partir da matriz original (a segunda linha original é [−4,2,1,−22][-4, 2, 1, -22], e para zerar o -4 precisaríamos somar 4 vezes a primeira linha, o que daria [0,38,−19,−190][0, 38, -19, -190], não [0,2,1,−22][0, 2, 1, -22]). Portanto, está incorreta.

Conclusão: A alternativa correta é a letra C, pois é a única que apresenta a matriz triangular superior com pivôs normalizados para 1 e termos independentes corretos, obtida pelo escalonamento de Gauss.

Gabarito: letra C

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