Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2024

Regra dos Trapézios Repetida

Gabarito: letra B — a aproximação de $A = \int_0^1 f(x)\,dx$ pela regra dos trapézios repetida com 5 subintervalos é 1,71. Aplicando a fórmula $A \approx \frac{h}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + 2f(x_4) + f(x_5)]$ com $h = 0{,}2$ e os valores dados, obtemos exatamente esse resultado.

A regra dos trapézios é um método numérico de integração que aproxima a área sob a curva $f(x)$ dividindo o intervalo $[a, b]$ em $n$ subintervalos de largura $h = \frac{b-a}{n}$ e, em cada subintervalo, aproximando a função por um segmento de reta (formando um trapézio). A soma das áreas desses trapézios dá uma aproximação da integral. Quanto maior o número de subintervalos, mais precisa tende a ser a aproximação, pois os segmentos de reta se ajustam melhor à curva.

Nesta questão, o intervalo é $[0, 1]$ e pedem-se 5 subintervalos. Portanto, a largura de cada subintervalo é $h = \frac{1-0}{5} = 0{,}2$. Os pontos de divisão são exatamente os valores de $x$ fornecidos: $x_0 = 0$, $x_1 = 0{,}1$, $x_2 = 0{,}2$, $x_3 = 0{,}3$, $x_4 = 0{,}4$, $x_5 = 0{,}5$, $x_6 = 0{,}6$, $x_7 = 0{,}7$, $x_8 = 0{,}8$, $x_9 = 0{,}9$, $x_{10} = 1$. Como são 5 subintervalos, usamos os pontos $x_0$ até $x_5$ (0 a 0,5) — mas espere: o enunciado fornece 11 valores, de 0 a 1, com passo 0,1. Para 5 subintervalos, o passo é 0,2, então os pontos usados são $x = 0; 0{,}2; 0{,}4; 0{,}6; 0{,}8; 1$. Os valores correspondentes são $f(0) = 1{,}0$, $f(0{,}2) = 1{,}2$, $f(0{,}4) = 1{,}5$, $f(0{,}6) = 1{,}8$, $f(0{,}8) = 2{,}2$, $f(1) = 2{,}7$.

Aplicando a fórmula:

$A \approx \frac{0{,}2}{2} \left[ f(0) + 2f(0{,}2) + 2f(0{,}4) + 2f(0{,}6) + 2f(0{,}8) + f(1) \right]$

$A \approx 0{,}1 \left[ 1{,}0 + 2(1{,}2) + 2(1{,}5) + 2(1{,}8) + 2(2{,}2) + 2{,}7 \right]$

$A \approx 0{,}1 \left[ 1{,}0 + 2{,}4 + 3{,}0 + 3{,}6 + 4{,}4 + 2{,}7 \right]$

$A \approx 0{,}1 \times 17{,}1 = 1{,}71$

A pegadinha clássica aqui é usar todos os 11 valores fornecidos, como se fossem 10 subintervalos (passo 0,1). Mas o enunciado pede explicitamente 5 subintervalos, então o passo é 0,2 e devemos selecionar apenas os pontos correspondentes. Quem usa todos os valores com passo 0,1 obtém uma aproximação diferente (cerca de 1,67), que não está entre as alternativas — mas o raciocínio errado de usar 10 subintervalos levaria a um valor próximo de 1,67, e a banca coloca 1,71 como correta justamente para testar se o candidato entendeu o que significa "5 subintervalos".

Outra armadilha é confundir a regra dos trapézios com a regra de Simpson ou com a simples soma das áreas de retângulos. A regra dos trapézios dá pesos 1 para os extremos e 2 para os pontos internos. Se o candidato usar peso 1 para todos (como na soma de Riemann pela esquerda ou direita), obterá valores como 1,04 ou 0,93, que aparecem como distratores.

Guarde o critério decisivo: identificar corretamente o número de subintervalos e, consequentemente, o passo $h$ e quais pontos usar. É exatamente nesse ponto que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1,89 não corresponde a nenhuma aplicação direta da regra dos trapézios com os dados fornecidos. Se o candidato usar todos os 11 pontos com passo 0,1 (10 subintervalos), a aproximação seria $A \approx \frac{0{,}1}{2}[1{,}0 + 2(1{,}1) + 2(1{,}2) + 2(1{,}3) + 2(1{,}5) + 2(1{,}6) + 2(1{,}8) + 2(2{,}0) + 2(2{,}2) + 2(2{,}5) + 2{,}7] = 0{,}05 \times 33{,}4 = 1{,}67$, que não é 1,89. Esse número parece ser um distrator sem correspondência direta com um erro comum de cálculo.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, com 5 subintervalos de largura $h = 0{,}2$, usando os pontos $x = 0; 0{,}2; 0{,}4; 0{,}6; 0{,}8; 1$ e a fórmula da regra dos trapézios repetida, obtemos $A \approx 1{,}71$. Este é o valor exato da aplicação correta do método.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 1,04 é muito baixo e não corresponde à regra dos trapézios. Ele poderia surgir de um erro grosseiro, como usar apenas os valores extremos $f(0)$ e $f(1)$ com a fórmula do trapézio simples: $A \approx \frac{1-0}{2}[f(0) + f(1)] = 0{,}5 \times (1{,}0 + 2{,}7) = 1{,}85$, que também não é 1,04. Outra possibilidade é o candidato ter calculado a média aritmética simples dos valores de $f$ (que daria cerca de 1,72) e depois subtraído algo, mas não há justificativa técnica. É um distrator puro.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 2,56 é maior que o esperado. Se o candidato usar a regra de Simpson com 10 subintervalos (passo 0,1), obteria uma aproximação diferente, mas não 2,56. Esse número poderia surgir de um erro de cálculo na soma, como contar os pesos incorretamente (por exemplo, usar peso 2 para os extremos e 1 para os internos, invertendo a fórmula). A fórmula correta dá peso 1 aos extremos e 2 aos internos; inverter isso inflaria o resultado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,93 é muito baixo e não corresponde à regra dos trapézios. Ele poderia surgir de uma soma de Riemann pela esquerda com passo 0,1, mas usando apenas os valores de $f(0)$ a $f(0{,}9)$ e multiplicando por 0,1: $0{,}1 \times (1{,}0 + 1{,}1 + 1{,}2 + 1{,}3 + 1{,}5 + 1{,}6 + 1{,}8 + 2{,}0 + 2{,}2 + 2{,}5) = 0{,}1 \times 16{,}2 = 1{,}62$, que não é 0,93. Também não há correspondência clara com um erro comum. É um distrator.

Gabarito: letra B