Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — FGV 2024
Matemática›Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
fg164426
Banca
FGV
Órgão
Pref Nova Iguaçu
Ano
2024
Cargo
ATTM ( )
A figura ilustra um retângulo ABCD com um segmento EF paralelo aos lados AD e BC. A medida de BC é o dobro da medida de BE. As medidas dos lados dos retângulos ABCD são proporcionais às medidas dos lados do retângulo BCFE. Se a área de BCFE mede 6 dm2, então a área do retângulo ADFE vale
A24 dm2.
B22 dm2.
C20 dm2.
D18 dm2.
E12 dm2.
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GabaritoD — 18 dm2.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 18 dm² — alternativa D.
A ideia por trás
Retângulos são figuras de quatro lados com ângulos retos. Quando dois retângulos são semelhantes, eles têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes: cada lado de um é uma cópia ampliada ou reduzida do lado correspondente do outro, sempre pelo mesmo fator. Esse fator é a razão de semelhança.
Se dois retângulos são semelhantes com razão de semelhança k (ou seja, cada lado do maior é k vezes o lado correspondente do menor), então a área do maior é k² vezes a área do menor. Isso acontece porque a área é o produto de dois lados: se cada lado multiplica por k, o produto multiplica por k·k = k². Por isso, dobrar os lados quadruplica a área.
Esta questão dá a razão entre um lado do retângulo maior e o lado correspondente do menor (BC e BE), e pede a área de uma parte. O caminho é usar essa razão para achar a área do retângulo maior e depois subtrair a parte conhecida.
O que a questão dá
BC = 2 · BE
área de BCFE = 6 dm²
retângulos ABCD e BCFE são semelhantes
O que queremos: a área do retângulo ADFE
Passo 1 — Descobrir a razão de semelhança
O enunciado diz que os retângulos ABCD e BCFE são semelhantes, então existe uma razão fixa entre os lados correspondentes. A informação BC = 2·BE nos dá exatamente essa razão, porque BC é um lado do retângulo maior e BE é o lado correspondente do menor.
Por que esta fórmula: A razão de semelhança é a divisão entre um lado do maior e o lado correspondente do menor. Como BC = 2·BE, temos k = BC/BE = 2.
De onde vem cada valor: = enunciado: BC = 2·BE · = enunciado: lado do retângulo BCFE
NÃO CAIA NESSA!
Achar que a razão é 1/2, confundindo qual retângulo é o maior. Como BC é o dobro de BE, o retângulo ABCD é o maior, então k = 2.
Passo 2 — Calcular a área do retângulo maior
Com a razão de semelhança em mãos, podemos usar a propriedade de que a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados. Isso nos dá a área de ABCD a partir da área de BCFE.
Por que esta fórmula: Para figuras semelhantes, a razão entre as áreas é k². Como k = 2, a área de ABCD é 2² = 4 vezes a área de BCFE.
De onde vem cada valor: = passo 1: 2 · = enunciado: 6 dm²
NÃO CAIA NESSA!
Usar a razão 2 diretamente na área, obtendo 2·6 = 12 dm². Isso ignora que a área cresce com o quadrado da escala.
Passo 3 — Subtrair a área do retângulo menor
O retângulo ADFE é a parte do retângulo ABCD que sobra depois de tirar o retângulo BCFE. Como conhecemos as áreas dos dois, a diferença dá a área pedida.
Por que esta fórmula: A área de ADFE é a área total menos a área da parte já conhecida: A_{ADFE} = A_{ABCD} - A_{BCFE}.
De onde vem cada valor: = passo 2: 24 dm² · = enunciado: 6 dm²
NÃO CAIA NESSA!
Parar no passo 2 e marcar 24 dm², esquecendo que a questão pede a área de ADFE, não a do retângulo inteiro.
