Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — FGV 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
fg164430
Banca
FGV
Órgão
PM SP
Ano
2024
Cargo
Sarg ( )
O conjunto A é formado pelos números naturais múltiplos de 4 com dois algarismos e o conjunto B é formado pelos números naturais múltiplos de 6 com dois algarismos. O número de elementos da interseção dos conjuntos A e B é:
  1. A6.
  2. B8.
  3. C10.
  4. D12.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 8 elementos — alternativa B.

A ideia por trás

Múltiplo de um número é o resultado da multiplicação desse número por um inteiro. Por exemplo, os múltiplos de 4 são 0, 4, 8, 12, 16, ... A interseção de dois conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem aos dois ao mesmo tempo. Aqui, queremos os números que são múltiplos de 4 e também de 6, e que tenham dois algarismos.

Um número é múltiplo de 4 e de 6 ao mesmo tempo se, e somente se, for múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC) entre 4 e 6. O MMC é o menor número que é múltiplo de ambos. Para achar o MMC, fatoramos: 4 = 2² e 6 = 2 × 3, então o MMC = 2² × 3 = 12. Portanto, os elementos da interseção são os múltiplos de 12.

Esta questão cobra exatamente essa propriedade: em vez de listar os dois conjuntos e comparar, usamos o MMC para achar os múltiplos comuns. Depois, contamos quantos desses múltiplos têm dois algarismos.

O que a questão dá

  • A = múltiplos de 4 com dois algarismos

  • B = múltiplos de 6 com dois algarismos

O que queremos: o número de elementos da interseção de A e B

Passo 1 — Calcular o MMC de 4 e 6

Para achar os números que são múltiplos de 4 e de 6 ao mesmo tempo, precisamos do menor número que é múltiplo de ambos. Esse número é o MMC, e todos os múltiplos comuns são múltiplos dele.

Por que esta fórmula: Fatoramos cada número em primos e pegamos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente. 4 = 2², 6 = 2 × 3, então o MMC = 2² × 3 = 12.

MMC(4,6)=22×3MMC(4, 6) = 2^{2} \times 3

De onde vem cada valor: 222^{2} = definição: fatoração de 4 · 33 = definição: fatoração de 6

MMC(4,6)=4×3=12MMC(4, 6) = 4 \times 3 = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com MDC, que seria 2. Se usar o MDC, contaria os múltiplos de 2, que são muitos.

Passo 2 — Listar os múltiplos de 12 com dois algarismos

Agora que sabemos que a interseção é formada pelos múltiplos de 12, precisamos listar aqueles que têm dois algarismos, ou seja, de 10 a 99.

Por que esta fórmula: Multiplicamos 12 por números naturais até passar de 99. O primeiro múltiplo de 12 com dois algarismos é 12 (12×1), e o último é 96 (12×8), pois 12×9 = 108 já tem três algarismos.

12×n, com n=1,2,3,…12 \times n, \text{ com } n = 1, 2, 3, \ldots

De onde vem cada valor: 1212 = passo 1 · nn = definição: números naturais

12×1=12,12×2=24,12×3=36,12×4=48,12×5=60,12×6=72,12×7=84,12×8=96=12 ,24,36,48,60,72,84,9612 \times 1 = 12, 12 \times 2 = 24, 12 \times 3 = 36, 12 \times 4 = 48, 12 \times 5 = 60, 12 \times 6 = 72, 12 \times 7 = 84, 12 \times 8 = 96 = \boxed{12\ , 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o 12 ou o 96, ou incluir o 108 que tem três algarismos.

Passo 3 — Contar os múltiplos listados

A pergunta pede o número de elementos da interseção, então basta contar quantos múltiplos de 12 com dois algarismos existem.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma contagem direta da lista do passo anterior.

8 elementos\boxed{8\ \text{elementos}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar errado, por exemplo, esquecendo de contar o 12 ou o 96.

Resposta: 8 elementos — alternativa B

Link permanente: /questoes/fg164430