Dois números inteiros são tais que:
A diferença (o maior menos o menor) entre esses dois números é:
GabaritoB — 16.
Gabarito: letra B — a conta chega a 16 — alternativa B.
Uma equação de primeiro grau é uma igualdade em que a incógnita aparece elevada à primeira potência; resolver é descobrir qual valor a torna verdadeira. Quando há duas incógnitas e duas informações independentes, montamos um sistema de duas equações — cada equação é uma pista, e a solução é o par de números que satisfaz as duas ao mesmo tempo.
A frase 'A excede B em 1 unidade' significa que A é maior que B e a diferença é 1, ou seja, A = B + 1. Na prática, quem 'excede' fica sozinho de um lado, e o outro lado recebe o '+1'. Se trocarmos os papéis, a equação fica diferente e pode levar a números que não fazem sentido no contexto (como negativos).
Esta questão testa exatamente essa tradução: transformar as duas frases do enunciado em um sistema de equações e resolvê-lo. O passo mais delicado é decidir qual número é o 'que excede' e montar a segunda equação no sentido correto.
soma dos dois números = 78
o dobro de um excede o triplo do outro em 1 unidade
O que queremos: a diferença entre o maior e o menor desses números
O enunciado dá duas informações independentes; a primeira é a soma. Precisamos de duas equações para achar dois números, então começamos por essa, que é direta.
Por que esta fórmula: A soma de dois números x e y é 78, então x + y = 78. Não há outra interpretação possível.
De onde vem cada valor: = definição: primeiro número (incógnita) · = definição: segundo número (incógnita) · = enunciado: soma = 78
Esquecer que são dois números diferentes e tentar usar uma única incógnita.
A segunda informação relaciona os números de outra forma. A palavra 'excede' indica que o dobro de um é maior que o triplo do outro, e a diferença é 1. Precisamos decidir qual número é o 'que excede'.
Por que esta fórmula: Se o dobro de x excede o triplo de y em 1, então 2x = 3y + 1. Se fosse o contrário, seria 2y = 3x + 1, mas isso levaria a números negativos (pois a soma é positiva), então a montagem correta é a primeira.
De onde vem cada valor: = definição: dobro do primeiro número · = definição: triplo do segundo número · = enunciado: excede em 1 unidade
Montar 2x + 1 = 3y (invertendo a relação) ou 2x = 3y - 1. Lembre: quem excede fica sozinho, e o outro lado recebe o +1.
Com duas equações e duas incógnitas, o método da substituição consiste em expressar uma incógnita em função da outra e substituir na segunda equação. Isolar x na primeira é o caminho mais direto.
Por que esta fórmula: Da equação x + y = 78, subtraímos y dos dois lados para deixar x sozinho: x = 78 - y.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = definição: segundo número (incógnita)
Isolar y em vez de x — não é erro, mas depois a substituição fica com sinal trocado; o importante é ser consistente.
Agora que x está em função de y, podemos substituir na segunda equação para ficar com uma equação só com y. Isso reduz o problema a uma equação de primeiro grau simples.
Por que esta fórmula: Substituímos x por 78 - y na equação 2x = 3y + 1, obtendo 2(78 - y) = 3y + 1.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 3 · = passo 2
Esquecer de aplicar a distributiva: 2(78 - y) = 156 - 2y, não 156 - y.
Com uma equação só com y, resolvemos isolando y: primeiro distribuímos, depois juntamos os termos com y de um lado e os números do outro.
Por que esta fórmula: A equação 156 - 2y = 3y + 1 é de primeiro grau; somamos 2y dos dois lados e subtraímos 1, obtendo 155 = 5y, e dividimos por 5.
De onde vem cada valor: = passo 4: 156 - 1 (após subtrair 1 dos dois lados) · = passo 4: 3 + 2 (após somar 2y dos dois lados)
Errar o sinal ao mover termos: 156 - 2y = 3y + 1 → 156 - 1 = 3y + 2y → 155 = 5y.
Já temos y; falta x. Usamos a equação do passo 3, que já está com x isolado.
Por que esta fórmula: Substituímos y = 31 em x = 78 - y.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 5
Usar a equação errada ou esquecer de subtrair corretamente.
A questão pede a diferença entre o maior e o menor. Como x = 47 é maior que y = 31, subtraímos y de x.
Por que esta fórmula: Diferença = maior - menor = 47 - 31.
De onde vem cada valor: = passo 6 · = passo 5
Responder a soma (78) ou a diferença com sinal trocado (31 - 47 = -16).
Resposta: 16 — alternativa B
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