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Questão de Matemática — Área e Perímetro de Um Polígono Qualquer — FGV 2024

MatemáticaÁrea e Perímetro de Um Polígono Qualquer
Código
fg164433
Banca
FGV
Órgão
PM SP
Ano
2024
Cargo
Sarg ( )
De um quadrado de 13cm de lado foram retirados dois quadrados iguais resultando o polígono da figura a seguir.   O perímetro do polígono acima é igual a 68cm. A área desse polígono em cm² é:Imagem associada para resolução da questão
  1. A137.
  2. B145.
  3. C151.
  4. D153.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 137.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 137 cm² — alternativa A.

A ideia por trás

Perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura, ou seja, o comprimento do contorno. Área é a medida da superfície que a figura ocupa, em unidades quadradas. Quando recortamos um pedaço de uma figura, o perímetro pode aumentar (porque surgem novos lados no contorno), mas a área sempre diminui (porque removemos superfície).

Ao retirar um quadrado de lado x de um quadrado maior, o perímetro da figura final aumenta em 2x, pois dois lados internos do recorte passam a fazer parte do contorno. Se retiramos dois quadrados iguais, o aumento total é 4x. A área final é a área original menos a soma das áreas dos quadrados retirados.

Esta questão fornece o perímetro final e pede a área. Precisamos usar o aumento do perímetro para descobrir o lado dos quadrados retirados e, então, subtrair suas áreas da área original.

O que a questão dá

  • lado do quadrado original = 13 cm

  • perímetro do polígono final = 68 cm

  • dois quadrados iguais foram retirados

O que queremos: a área do polígono resultante

Passo 1 — Calcular o perímetro do quadrado original

Precisamos saber quanto o perímetro aumentou após os recortes. Para isso, primeiro calculamos o perímetro da figura original, que é um quadrado de lado 13 cm.

Por que esta fórmula: O perímetro de um quadrado é quatro vezes o lado, pois ele tem quatro lados iguais.

Porig=4×lP_{orig} = 4 \times l

De onde vem cada valor: ll = enunciado: 13 cm

Porig=4×13=52 cmP_{orig} = 4 \times 13 = \boxed{52\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 4 e usar apenas o lado como perímetro.

Passo 2 — Descobrir o aumento do perímetro

O perímetro final é dado, e o aumento em relação ao original é o que nos permite achar o lado dos quadrados retirados.

Por que esta fórmula: O aumento é simplesmente a diferença entre o perímetro final e o original.

ΔP=Pfinal−Porig\Delta P = P_{final} - P_{orig}

De onde vem cada valor: PfinalP_{final} = enunciado: 68 cm · PorigP_{orig} = passo 1: 52 cm

ΔP=68−52=16 cm\Delta P = 68 - 52 = \boxed{16\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário, obtendo um valor negativo.

Passo 3 — Achar o lado dos quadrados retirados

Cada quadrado retirado expõe dois lados internos que passam a fazer parte do contorno. Como são dois quadrados, o aumento total do perímetro é 4 vezes o lado de um deles. Com o aumento conhecido, podemos isolar o lado.

Por que esta fórmula: Ao retirar um quadrado de lado x, o perímetro aumenta em 2x (dois lados novos). Com dois quadrados, o aumento é 4x. Essa é a relação que liga o aumento do perímetro ao lado dos quadrados.

ΔP=4×x\Delta P = 4 \times x

De onde vem cada valor: ΔP\Delta P = passo 2: 16 cm

16=4×x16 = 4 \times x
x=4 cmx = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 2 em vez de 4, achando x = 8 cm.

Passo 4 — Calcular a área do quadrado original

A área final é a área original menos a área retirada. Precisamos da área original para subtrair.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é o quadrado do lado.

Aorig=l2A_{orig} = l^{2}

De onde vem cada valor: ll = enunciado: 13 cm

Aorig=132=169 cm2A_{orig} = 13^{2} = \boxed{169\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 13 × 4 em vez de 13 × 13.

Passo 5 — Calcular a área retirada

Cada quadrado retirado tem lado x = 4 cm. Precisamos da área total removida para subtrair da área original.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado ao quadrado, e como são dois quadrados, multiplicamos por 2.

Aret=2×x2A_{ret} = 2 \times x^{2}

De onde vem cada valor: xx = passo 3: 4 cm

Aret=2×42=32 cm2A_{ret} = 2 \times 4^{2} = \boxed{32\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2, usando apenas a área de um quadrado.

Passo 6 — Subtrair a área retirada da área original

A área do polígono final é o que sobrou do quadrado original após remover os dois quadrados.

Por que esta fórmula: A área final é a área original menos a área retirada.

Afinal=Aorig−AretA_{final} = A_{orig} - A_{ret}

De onde vem cada valor: AorigA_{orig} = passo 4: 169 cm² · AretA_{ret} = passo 5: 32 cm²

Afinal=169−32=137 cm2A_{final} = 169 - 32 = \boxed{137\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as áreas em vez de subtrair, achando 201 cm².

Resposta: 137 cm² — alternativa A

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