Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 36 maneiras — alternativa C.

A ideia por trás

Quando temos objetos distintos (as condecorações são diferentes entre si) e pessoas distintas (os sargentos são diferentes), distribuir significa decidir, para cada objeto, para qual pessoa ele vai. O total de distribuições sem nenhuma regra é k^n, onde k é o número de pessoas e n o de objetos, porque cada objeto tem k escolhas independentes. Aqui, sem restrição, seriam 3^4 = 81 maneiras.

A restrição 'cada sargento recebe pelo menos uma' obriga a excluir as distribuições em que alguém fica de fora. O Princípio da Inclusão-Exclusão (PIE) faz isso: parte do total, subtrai os casos em que um sargento específico fica sem, soma de volta os casos em que dois ficam sem (porque foram subtraídos duas vezes), e assim por diante. A fórmula geral é: total = k^n - C(k,1)(k-1)^n + C(k,2)(k-2)^n - ... até o fim.

Esta questão pede exatamente essa conta: aplicar o PIE para distribuir 4 objetos distintos entre 3 pessoas, garantindo que nenhuma fique vazia. Vamos calcular cada termo da fórmula.

O que a questão dá

• 4 condecorações diferentes

• 3 sargentos

• cada sargento deve receber pelo menos uma condecoração

O que queremos: o número de maneiras de distribuir as 4 condecorações entre os 3 sargentos, garantindo que nenhum fique sem

Passo 1 — Calcular o total sem restrição

Começamos pelo total de distribuições possíveis se não houvesse a regra de 'pelo menos uma'. Isso serve de base para depois descontar os casos proibidos.

Por que esta fórmula: Para cada uma das 4 condecorações, temos 3 sargentos possíveis. Como as escolhas são independentes, multiplicamos 3 por si mesmo 4 vezes: 3^4.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: 3 sargentos · $4$ = enunciado: 4 condecorações

Passo 2 — Subtrair os casos com um sargento de fora

Agora precisamos tirar as distribuições em que pelo menos um sargento fica sem condecoração, porque a regra proíbe isso. Primeiro, contamos os casos em que um sargento específico fica de fora.

Por que esta fórmula: Escolhemos qual sargento fica de fora (C(3,1) = 3 maneiras) e distribuímos as 4 condecorações entre os outros 2 (2^4 = 16). Multiplicamos porque são escolhas independentes.

De onde vem cada valor: $C(3{,}1)$ = definição: combinação de 3 escolhe 1 · $2^{4}$ = constante: 2 sargentos restantes, 4 condecorações

Passo 3 — Somar de volta os casos com dois sargentos de fora

Os casos em que dois sargentos ficam de fora foram subtraídos duas vezes no passo anterior (uma para cada sargento), então precisamos somá-los de volta uma vez.

Por que esta fórmula: Escolhemos quais dois sargentos ficam de fora (C(3,2) = 3 maneiras) e distribuímos as 4 condecorações para o único restante (1^4 = 1).

De onde vem cada valor: $C(3{,}2)$ = definição: combinação de 3 escolhe 2 · $1^{4}$ = constante: 1 sargento restante, 4 condecorações

Passo 4 — Aplicar a inclusão-exclusão

Com os valores dos passos 1, 2 e 3, montamos a conta final: total sem restrição menos os casos com um de fora, mais os casos com dois de fora. O caso com três de fora é impossível, pois não sobraria ninguém para receber.

Por que esta fórmula: O Princípio da Inclusão-Exclusão diz: total = T - S_1 + S_2. Aqui não há termo para três sargentos de fora porque seria 0^4 = 0.

De onde vem cada valor: $T$ = passo 1: 81 · $S_1$ = passo 2: 48 · $S_2$ = passo 3: 3

Resposta: 36 maneiras — alternativa C