Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 35 bolas — alternativa C.

A ideia por trás

Razão é a comparação entre duas quantidades por meio de uma divisão: dizer que a razão entre verdes e azuis é 4:3 significa que, para cada 4 bolas verdes, há 3 azuis. Proporção é a igualdade entre duas razões — aqui, temos duas proporções que descrevem a mesma situação antes e depois de acrescentar bolas azuis.

Quando duas grandezas estão em proporção, podemos escrever uma equação: se V/A = 4/3, então V = (4/3)·A. Essa relação vale enquanto as quantidades não mudam; ao acrescentar 15 azuis, o denominador vira A+15 e a razão passa a ser 2/3, gerando uma segunda equação. Resolver o sistema dessas duas equações é o caminho.

Esta questão cobra montar e resolver um sistema de duas proporções a partir de uma razão inicial e outra após um acréscimo. O passo central é substituir uma equação na outra para achar as quantidades.

O que a questão dá

• razão inicial verdes/azuis = 4:3

• acréscimo de 15 bolas azuis

• razão final verdes/azuis = 2:3

O que queremos: o número total de bolas que havia inicialmente na caixa

Passo 1 — Escrever a primeira proporção como equação

A razão inicial nos dá uma relação direta entre o número de verdes (V) e o de azuis (A). Transformar a razão em equação permite usar essa relação nos próximos passos.

Por que esta fórmula: A definição de razão: V/A = 4/3. Multiplicando ambos os lados por A, obtemos V = (4/3)·A.

De onde vem cada valor: $V$ = definição: número de bolas verdes · $A$ = definição: número de bolas azuis · $\frac{4}{3}$ = enunciado: razão inicial 4:3

Passo 2 — Escrever a segunda proporção como equação

Após acrescentar 15 azuis, a quantidade de azuis passa a ser A+15, e a razão muda para 2:3. Essa nova equação relaciona V e A de outra forma, e é ela que permite achar os valores.

Por que esta fórmula: A razão final é V/(A+15) = 2/3. Multiplicando em cruz (produto dos meios = produto dos extremos), obtemos 3V = 2(A+15).

De onde vem cada valor: $V$ = definição: número de bolas verdes · $A$ = definição: número de bolas azuis · $15$ = enunciado: acréscimo de 15 bolas azuis · $\frac{2}{3}$ = enunciado: razão final 2:3

Passo 3 — Substituir V na segunda equação

Temos duas equações com duas incógnitas. Substituir a expressão de V da primeira na segunda elimina V e deixa uma equação só com A, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, V = (4/3)A. Colocando isso no lugar de V na segunda: 3·(4/3)A = 2(A+15).

De onde vem cada valor: $\frac{4}{3}A$ = passo 1: V = (4/3)A · $2 \cdot (A + 15)$ = passo 2: 3V = 2(A+15)

Passo 4 — Resolver a equação para achar A

A equação do passo anterior tem uma única incógnita, A. Isolá-la nos dá o número de bolas azuis iniciais.

Por que esta fórmula: Simplificando 3·(4/3)A = 4A, a equação fica 4A = 2A + 30. Subtraindo 2A dos dois lados: 2A = 30, logo A = 15.

De onde vem cada valor: $4A$ = passo 3: 3·(4/3)A = 4A · $2A + 30$ = passo 3: 2(A+15) = 2A + 30

Passo 5 — Calcular o número de bolas verdes

Com A conhecido, voltamos à primeira equação para achar V. Sem isso, não temos o total.

Por que esta fórmula: Usamos V = (4/3)·A, substituindo A = 15.

De onde vem cada valor: $\frac{4}{3}$ = passo 1: razão inicial · $15$ = passo 4: A = 15

Passo 6 — Somar as quantidades para obter o total inicial

A pergunta é o total de bolas na caixa inicialmente, ou seja, verdes + azuis antes do acréscimo.

Por que esta fórmula: Total = V + A, com os valores já encontrados.

De onde vem cada valor: $V$ = passo 5: 20 · $A$ = passo 4: 15

Resposta: 35 bolas — alternativa C