Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 116 sólidos — alternativa A.

A ideia por trás

Uma equação de primeiro grau é uma igualdade com uma incógnita que aparece elevada à primeira potência. Resolver problemas com ela significa traduzir frases do enunciado em expressões matemáticas, usando letras para representar quantidades desconhecidas, e depois manipular a equação até isolar a incógnita.

A relação central é a de igualdade: cada frase do problema vira uma equação. Por exemplo, 'o número de cubos brancos é igual ao número de sólidos vermelhos' vira C_b = E_v + C_v. Quando há várias incógnitas, montamos um sistema de equações e o resolvemos por substituição: expressamos uma incógnita em função de outra e vamos substituindo até sobrar uma única equação com uma incógnita.

Esta questão exige montar um sistema com quatro incógnitas (esferas vermelhas, esferas brancas, cubos vermelhos, cubos brancos) a partir de quatro frases do enunciado, e depois resolver por substituição para achar o total.

O que a questão dá

• cubos vermelhos = 17

• esferas = 47

• cubos a mais do que esferas brancas = 57

O que queremos: o número total de sólidos na caixa

Passo 1 — Definir as quatro quantidades desconhecidas

Antes de montar qualquer equação, precisamos dar nomes às quantidades que queremos descobrir. Como há dois tipos de sólidos e duas cores, temos quatro categorias: esferas vermelhas, esferas brancas, cubos vermelhos e cubos brancos. Usar letras para cada uma torna as frases do enunciado traduzíveis em matemática.

Passo 2 — Montar as equações a partir do enunciado

Cada frase do problema é uma informação que vira uma equação. Precisamos escrever todas elas para ter um sistema completo. A primeira frase diz que o número de cubos brancos é igual ao número de sólidos vermelhos; a segunda dá o valor de cubos vermelhos; a terceira dá o total de esferas; a quarta relaciona cubos e esferas brancas.

Por que esta fórmula: As equações são a tradução direta das frases. Por exemplo, 'o número de cubos brancos é igual ao número de sólidos vermelhos' significa C_b = E_v + C_v, porque sólidos vermelhos são a soma de esferas vermelhas e cubos vermelhos.

De onde vem cada valor: $C_b$ = definição: cubos brancos (incógnita) · $E_v$ = definição: esferas vermelhas (incógnita) · $C_v$ = enunciado: 17 · $E_b$ = definição: esferas brancas (incógnita)

Passo 3 — Substituir o valor de C_v na primeira equação

Com C_v = 17, podemos simplificar a primeira equação, substituindo C_v por 17. Isso reduz o número de incógnitas e nos aproxima de uma equação com apenas uma variável.

Por que esta fórmula: Substituição é o método de resolução de sistemas: trocamos uma incógnita pelo seu valor conhecido para simplificar as outras equações.

De onde vem cada valor: $E_v$ = definição: esferas vermelhas (incógnita) · $17$ = passo 2: C_v = 17

Passo 4 — Expressar E_v em função de E_b

A terceira equação, E_v + E_b = 47, relaciona as duas incógnitas de esferas. Isolando E_v, podemos substituí-la na equação do passo anterior, eliminando mais uma incógnita.

Por que esta fórmula: Isolar uma incógnita é o primeiro passo da substituição: rearranjamos a equação para que ela fique sozinha de um lado.

De onde vem cada valor: $47$ = enunciado: número de esferas é 47 · $E_b$ = definição: esferas brancas (incógnita)

Passo 5 — Substituir E_v na equação de C_b

Agora temos C_b em função de E_b, e também temos a quarta equação que relaciona C_b e E_b. Substituindo C_b na quarta equação, ficamos com uma equação só com E_b.

Por que esta fórmula: Substituição novamente: trocamos C_b pela expressão encontrada no passo 3, usando o E_v do passo 4.

De onde vem cada valor: $47$ = passo 4: E_v = 47 - E_b · $17$ = passo 3: C_b = E_v + 17

Passo 6 — Montar a equação final com E_b

A quarta equação do enunciado, C_v + C_b = E_b + 57, ainda não foi usada. Substituindo C_v = 17 e C_b = 64 - E_b, obtemos uma equação de primeiro grau com apenas E_b.

Por que esta fórmula: Essa é a equação que amarra tudo: ela relaciona cubos e esferas brancas. Substituindo os valores conhecidos, sobra uma incógnita.

De onde vem cada valor: $17$ = passo 2: C_v = 17 · $64 - E_b$ = passo 5: C_b = 64 - E_b · $57$ = enunciado: 57 cubos a mais que esferas brancas

Passo 7 — Resolver a equação para achar E_b

Agora é uma equação de primeiro grau simples. Vamos isolar E_b: somamos E_b dos dois lados e subtraímos 57, obtendo 2E_b = 24, logo E_b = 12.

Por que esta fórmula: Para resolver, usamos as operações inversas: somar/subtrair e multiplicar/dividir dos dois lados da igualdade para manter o equilíbrio.

De onde vem cada valor: $81$ = passo 6: 17 + 64 = 81 · $57$ = enunciado: 57 cubos a mais

Passo 8 — Calcular as demais quantidades e o total

Com E_b = 12, voltamos às equações anteriores para achar E_v e C_b, e então somamos tudo. Esse é o passo final que responde à pergunta.

Por que esta fórmula: Usamos as relações já estabelecidas: E_v = 47 - E_b, C_b = 64 - E_b, e C_v = 17. O total é a soma das quatro categorias.

De onde vem cada valor: $47$ = passo 4: E_v = 47 - E_b · $12$ = passo 7: E_b = 12 · $64$ = passo 5: C_b = 64 - E_b · $17$ = passo 2: C_v = 17

Resposta: 116 sólidos — alternativa A