Hexágono regular: decomposição por diagonais radiais
Gabarito: letra A. A razão entre o perímetro do triângulo e o perímetro do hexágono original é 1/2. O triângulo formado pelos segmentos OA, OB e OE tem perímetro 15 cm (três lados de 5 cm), enquanto o hexágono original tem perímetro 30 cm (seis lados de 5 cm) — daí a razão 15/30 = 1/2. A chave está em reconhecer que, num hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado, e que os segmentos traçados do centro aos vértices são exatamente esses raios.
Um hexágono regular é um polígono de seis lados congruentes e seis ângulos internos congruentes (cada um mede 120°). Uma propriedade fundamental é que ele pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes, todos com vértice no centro O. Isso acontece porque o ângulo central (formado por dois raios consecutivos) mede 360°/6 = 60°, e como os dois lados que partem do centro são raios iguais, cada triângulo é isósceles com ângulo do vértice de 60° — logo, os outros dois ângulos também medem 60°, tornando-o equilátero. Consequentemente, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado do hexágono: R = ℓ = 5 cm.
No problema, os segmentos OA, OB e OE são raios, todos medindo 5 cm. O triângulo formado é o triângulo AOE (ou ABE, dependendo da leitura), cujos lados são OA, OE e AE. Como A e E são vértices diametralmente opostos, o segmento AE é uma diagonal que passa pelo centro, medindo 2R = 10 cm. Mas o triângulo em questão, com vértices A, O e E, tem lados OA = 5 cm, OE = 5 cm e AE = 10 cm — o que viola a desigualdade triangular (5 + 5 = 10, não é maior que 10). Isso indica que o triângulo mencionado na alternativa A não é AOE, mas sim o triângulo formado por três raios consecutivos, como AOB, que é equilátero de lado 5 cm. O enunciado diz "são traçados os segmentos OA, OB e OE, dividindo a figura original em três novas: um triângulo e dois quadriláteros". Os segmentos OA, OB e OE dividem o hexágono em três regiões: o triângulo AOB (equilátero, lado 5), o quadrilátero BCDO (ou BCDE com o segmento OE) e o quadrilátero OEFA (ou OAEF). O triângulo AOB tem perímetro 3 × 5 = 15 cm. O hexágono original tem perímetro 6 × 5 = 30 cm. A razão é 15/30 = 1/2.
Vamos calcular os perímetros e áreas de todas as figuras para verificar cada alternativa. O hexágono tem lado ℓ = 5 cm. O triângulo AOB é equilátero de lado 5 cm, perímetro 15 cm. Os quadriláteros: um deles é BCDE (vértices B, C, D, E), que tem lados BC = 5, CD = 5, DE = 5 e EB (diagonal que passa pelo centro) = 10 cm, perímetro 25 cm. O outro é OAEF (ou OEFA), com lados OA = 5, AE = 10, EF = 5 e FO = 5, perímetro 25 cm também. Na verdade, os dois quadriláteros são congruentes, cada um com perímetro 25 cm. As áreas: o triângulo equilátero de lado 5 tem área (ℓ²√3)/4 = 25√3/4 cm². O hexágono tem área 6 × (25√3/4) = 150√3/4 = 75√3/2 cm². Cada quadrilátero (trapézio) tem área igual à metade da área do hexágono menos a área do triângulo: (75√3/2 - 25√3/4)/2 = (150√3/4 - 25√3/4)/2 = (125√3/4)/2 = 125√3/8 cm². Agora podemos julgar as alternativas.
A pegadinha central é confundir o triângulo formado pelos raios com o triângulo que usa a diagonal diametral, ou errar na identificação de quais vértices formam cada figura. A banca também explora a confusão entre perímetro e área, e entre as razões corretas e incorretas. Guarde a propriedade-chave: no hexágono regular, o raio é igual ao lado, e a diagonal que passa pelo centro mede o dobro do lado. É nela que todas as alternativas se resolvem.
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
O triângulo formado pelos segmentos OA, OB e OE é o triângulo AOB (equilátero, pois OA = OB = AB = 5 cm). Seu perímetro é 3 × 5 = 15 cm. O perímetro do hexágono original é 6 × 5 = 30 cm. A razão é 15/30 = 1/2. Exatamente o que a alternativa afirma.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que a razão entre o perímetro do quadrilátero maior e o perímetro do hexágono é 2/3. Os dois quadriláteros formados são congruentes, cada um com perímetro 25 cm (lados 5, 5, 5 e a diagonal EB = 10 cm). A razão correta seria 25/30 = 5/6, não 2/3. O valor 2/3 não corresponde a nenhuma razão real entre as figuras — é um distrator numérico.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que a razão entre o perímetro do quadrilátero menor e o perímetro do quadrilátero maior é 3/5. Como os dois quadriláteros são congruentes (mesmos lados: três lados de 5 cm e uma diagonal de 10 cm), a razão entre seus perímetros é 1, não 3/5. Não há quadrilátero "menor" e "maior" — eles são iguais.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que a razão entre a área do quadrilátero menor e a área do quadrilátero maior é 1/2. Novamente, os dois quadriláteros são congruentes, então a razão entre suas áreas é 1, não 1/2. A área de cada um é 125√3/8 cm², e a razão entre elas é 1.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que a razão entre a área do quadrilátero maior e a área do hexágono original é 2/3. A área de cada quadrilátero é 125√3/8 cm², e a área do hexágono é 75√3/2 cm² = 300√3/8 cm². A razão é (125√3/8) / (300√3/8) = 125/300 = 5/12, não 2/3. O valor 2/3 é um distrator que não corresponde a nenhuma razão real.
A propriedade que resolve tudo: no hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado, e a diagonal que passa pelo centro mede o dobro do lado. Com isso, você calcula todos os perímetros e áreas sem decorar fórmulas extras — basta decompor o hexágono em triângulos equiláteros.
Gabarito: letra A