Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 8% — alternativa D.

A ideia por trás

Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, uma cresce na mesma proporção em que a outra diminui. Aqui, o preço do quilograma do metal e o percentual de impureza andam em sentidos opostos: quanto mais impuro, mais barato. Isso significa que o produto entre o preço e o percentual é sempre o mesmo número, chamado constante de proporcionalidade.

Se p é o preço por kg e i é o percentual de impureza, então p × i = k, com k constante. Se o preço dobra, a impureza cai pela metade; se a impureza triplica, o preço cai a um terço. Essa relação vale para qualquer amostra do metal, desde que a impureza seja medida em percentual e o preço em reais por quilograma.

Esta questão fornece dois lotes com impurezas diferentes e o custo total, o que permite descobrir a constante k. Depois, com o novo preço por quilograma, usamos a mesma relação para achar a impureza pedida.

O que a questão dá

• 3 kg de metal: 1 kg com 15% de impureza e 2 kg com 25%

• custo total = R$ 528,00

• preço por kg é inversamente proporcional ao percentual de impureza

• novo preço: R$ 225,00 por 500 g

O que queremos: o percentual de impureza do metal que custa R$ 225,00 por 500 g

Passo 1 — Montar a relação de proporcionalidade inversa

Antes de qualquer conta, precisamos traduzir a frase 'preço é inversamente proporcional à impureza' em uma equação. Isso nos dá uma ferramenta para relacionar os preços dos dois tipos de metal com suas impurezas.

Por que esta fórmula: A definição de proporcionalidade inversa: o produto das duas grandezas é constante. Chamando o preço por kg de p e a impureza de i, temos p × i = k.

De onde vem cada valor: $p$ = definição: preço por kg do metal · $i$ = definição: percentual de impureza · $k$ = definição: constante de proporcionalidade

Passo 2 — Expressar os preços em função da constante

Temos dois tipos de metal com impurezas diferentes, então cada um tem seu preço por kg. Usando a relação do passo 1, podemos escrever esses preços em termos da constante k, que ainda não conhecemos.

Por que esta fórmula: Da relação p × i = k, isolamos p: p = k / i. Para o metal com 15% de impureza, p₁₅ = k/15; para o de 25%, p₂₅ = k/25.

De onde vem cada valor: $k$ = passo 1 · $15$ = enunciado: impureza do primeiro lote · $25$ = enunciado: impureza do segundo lote

Passo 3 — Montar a equação do custo total

O enunciado diz que 1 kg do primeiro tipo e 2 kg do segundo custam juntos R$ 528,00. Isso nos dá uma equação com a constante k, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: O custo total é a soma das quantidades vezes os preços por kg: 1 × p₁₅ + 2 × p₂₅ = 528. Substituímos as expressões do passo 2.

De onde vem cada valor: $1$ = enunciado: 1 kg do metal com 15% · $2$ = enunciado: 2 kg do metal com 25% · $528$ = enunciado: custo total em reais

Passo 4 — Resolver a equação para achar k

Com a equação montada, precisamos isolar k. Para somar as frações, usamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores 15 e 25, que é 75.

Por que esta fórmula: Somamos frações com denominadores diferentes encontrando um denominador comum. Depois, multiplicamos ambos os lados por 75 e dividimos por 11.

De onde vem cada valor: $5k/75$ = definição: k/15 = 5k/75 · $6k/75$ = definição: 2k/25 = 6k/75 · $528$ = passo 3 · $75$ = definição: MMC de 15 e 25 · $11$ = definição: 5 + 6

Passo 5 — Calcular o preço por quilograma do novo metal

O novo preço é dado para 500 gramas, mas a relação de proporcionalidade usa o preço por quilograma. Precisamos converter para a mesma unidade antes de aplicar a fórmula.

Por que esta fórmula: 500 g é metade de 1 kg, então o preço por kg é o dobro do preço por 500 g.

De onde vem cada valor: $225$ = enunciado: preço de 500 g · $2$ = definição: 500 g = 0,5 kg, então 1 kg = 2 × 0,5 kg

Passo 6 — Achar a impureza correspondente ao novo preço

Agora temos o preço por kg do novo metal e a constante k. Aplicando a relação de proporcionalidade inversa, encontramos o percentual de impureza pedido.

Por que esta fórmula: Da relação p × i = k, isolamos i: i = k / p. Substituímos k = 3600 e p = 450.

De onde vem cada valor: $k$ = passo 4: 3600 · $p$ = passo 5: 450 reais por kg

Resposta: 8% — alternativa D