Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — FGV 2024

Problema de retiradas sucessivas com frações e porcentagens

Gabarito: letra C. Trabalhando de trás para frente a partir das 18 balas finais, encontramos que Alice e Carla retiraram, cada uma, 30 balas — exatamente o que afirma a alternativa C. O caminho é reconstruir a quantidade inicial e as retiradas de cada pessoa, aplicando as frações e porcentagens na ordem inversa em que ocorreram.

O problema descreve uma sequência de retiradas, cada uma calculada sobre o que restou na etapa anterior. A estratégia mais eficiente é começar pelo final: sabemos que restaram 18 balas após a retirada de Daniela, e cada retirada anterior reduziu o total a uma fração conhecida do que havia antes. Vamos reconstruir o processo passo a passo.

Passo 1 — Retirada de Daniela. Daniela retirou 50% a mais do que Carla. Se Carla retirou $C$ balas, Daniela retirou $1{,}5 \times C = \frac{3}{2}C$. Após a retirada de Daniela, restaram 18 balas. Isso significa que, antes da retirada de Daniela, havia $18 + \frac{3}{2}C$ balas. Mas esse valor é justamente o que restou após a retirada de Carla.

Passo 2 — Retirada de Carla. Carla retirou 25% das balas que restaram após a retirada de Bruna. Se após Bruna restaram $B$ balas, Carla retirou $0{,}25 \times B = \frac{1}{4}B$, e restaram $\frac{3}{4}B$ balas. Esse valor, $\frac{3}{4}B$, é o que havia antes da retirada de Daniela, ou seja, $\frac{3}{4}B = 18 + \frac{3}{2}C$.

Passo 3 — Retirada de Bruna. Bruna retirou 20% das balas que havia após a retirada de Alice. Se após Alice restaram $A$ balas, Bruna retirou $0{,}2 \times A = \frac{1}{5}A$, e restaram $\frac{4}{5}A$ balas. Esse valor é $B$, ou seja, $B = \frac{4}{5}A$.

Passo 4 — Retirada de Alice. Alice retirou algumas balas, deixando o equivalente a $\frac{5}{6}$ do que havia antes. Se inicialmente havia $T$ balas, após Alice restaram $\frac{5}{6}T$ balas, e ela retirou $\frac{1}{6}T$ balas. Esse valor restante é $A$, ou seja, $A = \frac{5}{6}T$.

Agora, vamos relacionar tudo. Sabemos que $C = \frac{1}{4}B$ (Carla retirou 25% de $B$). E $B = \frac{4}{5}A$. Então $C = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5}A = \frac{1}{5}A$. Além disso, $A = \frac{5}{6}T$, então $C = \frac{1}{5} \times \frac{5}{6}T = \frac{1}{6}T$. Veja que Alice retirou $\frac{1}{6}T$ e Carla retirou $\frac{1}{6}T$ — as duas retiraram a mesma quantidade! Isso já aponta para a alternativa C, mas vamos confirmar com os números.

Usando a equação do Passo 2: $\frac{3}{4}B = 18 + \frac{3}{2}C$. Como $C = \frac{1}{4}B$, temos $\frac{3}{2}C = \frac{3}{2} \times \frac{1}{4}B = \frac{3}{8}B$. Então $\frac{3}{4}B = 18 + \frac{3}{8}B$. Subtraindo $\frac{3}{8}B$ dos dois lados: $\frac{3}{4}B - \frac{3}{8}B = 18$, ou seja, $\frac{6}{8}B - \frac{3}{8}B = \frac{3}{8}B = 18$. Logo, $B = 18 \times \frac{8}{3} = 48$ balas restaram após Bruna.

Com $B = 48$, temos $C = \frac{1}{4} \times 48 = 12$ balas retiradas por Carla. E Daniela retirou $\frac{3}{2} \times 12 = 18$ balas. Após Daniela restaram 18, então antes de Daniela havia $18 + 18 = 36$ balas, que é $\frac{3}{4}B = \frac{3}{4} \times 48 = 36$ — confere.

Agora, $B = \frac{4}{5}A$, então $48 = \frac{4}{5}A$, logo $A = 48 \times \frac{5}{4} = 60$ balas restaram após Alice. Bruna retirou $\frac{1}{5} \times 60 = 12$ balas. E $A = \frac{5}{6}T$, então $60 = \frac{5}{6}T$, logo $T = 60 \times \frac{6}{5} = 72$ balas havia inicialmente. Alice retirou $\frac{1}{6} \times 72 = 12$ balas.

Resumo das retiradas: Alice = 12, Bruna = 12, Carla = 12, Daniela = 18. Veja que Alice, Bruna e Carla retiraram 12 balas cada, e Daniela retirou 18. A alternativa C afirma que Alice e Carla retiraram a mesma quantidade — e de fato ambas retiraram 12 balas. As demais alternativas comparam quantidades diferentes e estão incorretas.

A pegadinha desta questão está em calcular as porcentagens sobre o valor restante a cada etapa, e não sobre o valor inicial. Muitos candidatos aplicam 20%, 25% e 50% sobre o total original, o que leva a resultados errados. A técnica de resolver de trás para frente, usando a quantidade final conhecida, é a chave para evitar esse erro.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que Alice retirou 12 balas a mais que Bruna. Na verdade, Alice retirou 12 balas e Bruna retirou 12 balas — as duas retiraram a mesma quantidade, não há diferença de 12 balas. O erro está em supor que as retiradas de Alice e Bruna são diferentes, quando na verdade são iguais.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que Bruna retirou 12 balas a mais que Carla. Na verdade, Bruna retirou 12 balas e Carla retirou 12 balas — novamente, quantidades iguais, sem diferença de 12 balas. A alternativa erra ao criar uma diferença que não existe.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que Alice e Carla retiraram a mesma quantidade de balas. De fato, Alice retirou $\frac{1}{6} \times 72 = 12$ balas e Carla retirou $\frac{1}{4} \times 48 = 12$ balas. Ambas retiraram exatamente 12 balas, confirmando a igualdade. Esta é a única alternativa que descreve corretamente as quantidades retiradas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que Bruna e Daniela retiraram a mesma quantidade de balas. Na verdade, Bruna retirou 12 balas e Daniela retirou 18 balas — quantidades diferentes. A alternativa erra ao igualar valores que são distintos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que todas as quatro retiraram a mesma quantidade de balas. Isso é falso, pois Daniela retirou 18 balas, enquanto Alice, Bruna e Carla retiraram 12 balas cada. A alternativa generaliza incorretamente, ignorando a diferença na retirada de Daniela.

Gabarito: letra C