Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Geometria Analítica: interseção de circunferências

Gabarito: letra A — a soma das coordenadas dos pontos P e Q é 5. A resolução combina a equação reduzida da circunferência inscrita no quadrado com a equação da circunferência de centro em A e raio 2 (lado do quadrado), e a soma das coordenadas dos pontos de interseção é obtida diretamente da soma das soluções do sistema.

O problema pede para encontrar os pontos onde duas circunferências se intersectam: a circunferência β, inscrita no quadrado ABCD de lado 2 cm, e a circunferência γ, que tem centro em A e passa por B e D. Ao sobrepor um sistema de coordenadas cartesianas com origem em A, eixo das abscissas sobre AB e eixo das ordenadas sobre AD, podemos escrever as equações de ambas as circunferências e resolver o sistema para encontrar as coordenadas dos pontos de interseção.

Montando o problema

Primeiro, vamos posicionar o quadrado no plano cartesiano. Como o lado mede 2 cm, temos:

• A = (0, 0)

• B = (2, 0)

• C = (2, 2)

• D = (0, 2)

A circunferência β está inscrita no quadrado, ou seja, seu centro é o centro do quadrado e seu raio é metade do lado. O centro do quadrado é o ponto médio de AC (ou BD), que é (1, 1). O raio é 1 cm. Portanto, a equação reduzida de β é:

A circunferência γ tem centro em A = (0, 0) e passa por B = (2, 0). A distância de A a B é 2, então o raio de γ é 2. Sua equação é:

Encontrando os pontos de interseção

Para encontrar os pontos P e Q, resolvemos o sistema formado pelas duas equações:

Expandindo a primeira equação:

Substituindo $x^2 + y^2 = 4$ (da segunda equação):

Essa é a equação da reta que contém os pontos de interseção P e Q. Mas o problema pede a soma das coordenadas de tais pontos, ou seja, para cada ponto, a soma $x + y$. Como ambos os pontos satisfazem a equação $x + y = \frac{5}{2}$, a soma das coordenadas de cada ponto é $\frac{5}{2}$. No entanto, a questão pede a soma das coordenadas de P e Q — interpretando como a soma de todas as coordenadas (x e y) dos dois pontos, temos:

Portanto, a resposta é 5.

Verificação geométrica

Podemos confirmar que os pontos de interseção existem e são dois. A distância entre os centros das circunferências é $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$. A soma dos raios é $1 + 2 = 3$ e a diferença é $2 - 1 = 1$. Como $1 < \sqrt{2} < 3$, as circunferências se intersectam em dois pontos.

A pegadinha

A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o calcular a soma das coordenadas de um ponto apenas, obtendo $\frac{5}{2}$, ou fazendo-o somar as coordenadas de P e Q separadamente, mas esquecendo de somar as duas coordenadas de cada ponto. A leitura correta do enunciado é que se deseja a soma de todas as coordenadas (x e y) dos dois pontos de interseção.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A soma das coordenadas de P e Q é 5. Como demonstrado, cada ponto de interseção satisfaz $x + y = \frac{5}{2}$, e a soma das coordenadas dos dois pontos é $\frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{5}}{2}$ não corresponde a nenhuma grandeza relevante do problema. Esse valor poderia surgir de um cálculo equivocado da distância entre centros ou de uma confusão com o raio de alguma circunferência, mas não é a soma pedida.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{6}}{2}$ também não é um valor que apareça na resolução correta. Provavelmente resulta de um erro ao resolver o sistema de equações ou ao calcular a soma das coordenadas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{7}}{2}$ não é a resposta. Esse valor não tem relação com os cálculos realizados, sendo um distrator numérico sem fundamento no problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 4 poderia ser obtido se o candidato somasse apenas as coordenadas x dos dois pontos (ou apenas as y), ou se confundisse a soma das coordenadas de um ponto com a soma de todos os pontos. A resposta correta é 5, não 4.

Gabarito: letra A