Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg164453
Banca
FGV
Órgão
FEMPAR
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
Um jogador lança repetidamente um dado comum de 6 faces, numeradas de 1 a 6, em que todos os resultados têm a mesma probabilidade de ocorrência. Haverá tantos lançamentos quantos forem necessários até que o jogo acabe. O jogo acaba:   - com vitória do jogador se o resultado obtido for 6;   - com derrota do jogador se o resultado obtido for, pela segunda vez, não necessariamente de modo consecutivo, um elemento do conjunto {3, 4, 5}.   O jogo continua se o resultado do lançamento for 2 ou 1, ou se o resultado obtido for, pela primeira vez, um elemento do conjunto {3, 4, 5}.   Sabendo-se que o jogo terminou devido ao resultado do 3º lançamento, a probabilidade de o jogador ser vitorioso é
  1. A1/4.
  2. B2/27.
  3. C3/32.
  4. D4/13.
  5. E5/12.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 4/13.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 4/13 — alternativa D.

A ideia por trás

Probabilidade condicional é a chance de um evento acontecer sabendo que outro já ocorreu. Aqui, o evento que já sabemos é 'o jogo terminou no 3º lançamento'; queremos a chance de, dentro desse cenário, o resultado ter sido vitória. Em vez de olhar todos os lançamentos possíveis, restringimos o universo aos casos que satisfazem a condição.

A probabilidade condicional P(A|B) é calculada como o número de casos favoráveis a A dentro de B dividido pelo número total de casos de B. No dado, cada sequência de lançamentos tem a mesma chance, então basta contar as sequências que terminam no 3º lançamento e ver quantas delas são de vitória.

Esta questão exige listar todas as sequências de 3 lançamentos que fazem o jogo acabar exatamente no 3º, separando as de vitória das de derrota, e então aplicar a fórmula da probabilidade condicional.

O que a questão dá

  • dado comum de 6 faces, numeradas de 1 a 6

  • cada face tem probabilidade 1/6

  • jogo termina no 3º lançamento

O que queremos: a probabilidade de vitória, dado que o jogo terminou no 3º lançamento

Passo 1 — Classificar cada lançamento em três tipos

Para contar as sequências, precisamos simplificar as 6 faces em categorias que têm o mesmo efeito no jogo. Assim, em vez de listar 6³ = 216 sequências, trabalhamos com poucos tipos.

NÃO CAIA NESSA!

Confundir os tipos: lembre que {3,4,5} é derrota apenas na segunda ocorrência; na primeira é continuação.

Passo 2 — Listar as sequências de vitória no 3º lançamento

Para o jogo terminar com vitória no 3º, o 3º lançamento deve ser 6. Nos dois primeiros, não pode ter saído 6 (senão o jogo já teria acabado) e não pode ter saído {3,4,5} duas vezes (senão derrota no 2º).

16 seque^ncias\boxed{16\ \text{sequ}ê\text{ncias}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir sequências com 6 nos dois primeiros lançamentos, o que encerraria o jogo antes.

Passo 3 — Listar as sequências de derrota no 3º lançamento

Para o jogo terminar com derrota no 3º, o 3º lançamento deve ser o segundo elemento de {3,4,5}. Nos dois primeiros, deve haver exatamente um elemento de {3,4,5} e nenhum 6.

12 seque^ncias\boxed{12\ \text{sequ}ê\text{ncias}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar sequências com dois elementos de {3,4,5} nos dois primeiros, o que já teria encerrado o jogo no 2º lançamento.

Passo 4 — Calcular a probabilidade condicional

Agora temos o total de casos em que o jogo termina no 3º lançamento (16 + 12 = 28) e quantos são de vitória (16). A probabilidade condicional é a razão entre esses números.

Por que esta fórmula: P(vitória | termina no 3º) = (casos de vitória no 3º) / (total de casos que terminam no 3º). Como cada sequência é igualmente provável, a contagem direta funciona.

P=1628P = \frac{16}{28}

De onde vem cada valor: 1616 = passo 2: sequências de vitória · 2828 = passo 2 + passo 3: 16 + 12

P=1628=4 /13P = \frac{16}{28} = \boxed{4\ /13}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de condicionar e calcular a probabilidade de sair 6 no 3º lançamento sem considerar que o jogo só chega lá sob certas condições.

Resposta: 4/13 — alternativa D

Link permanente: /questoes/fg164453