Questão de Matemática — Funções Modulares, Equações Modulares e Inequações Modulares — FGV 2024

Função Modular: interseção de gráficos

Gabarito: letra B — o gráfico de $f(x) = ||x-2|-2|$ intersecta o gráfico de $g(x) = k$ em exatamente três pontos quando $k = 2$. Isso ocorre porque a função modular dupla tem um formato de "W" com um pico em $y=2$ e dois vales em $y=0$, e a reta horizontal $y=2$ corta exatamente nos três pontos de máximo e nos dois pontos de transição, totalizando três interseções.

Para entender por que a alternativa B é a correta, vamos analisar a função $f(x) = ||x-2|-2|$ passo a passo. Primeiro, considere a função interna $h(x) = |x-2|$. Esta é uma função modular simples que tem formato de "V" com vértice em $(2, 0)$. Ela vale $x-2$ para $x \geq 2$ e $2-x$ para $x < 2$. Agora, aplicamos o módulo externo: $f(x) = |h(x) - 2| = ||x-2| - 2|$. Isso significa que pegamos o gráfico de $h(x)$ e o deslocamos 2 unidades para baixo, obtendo $h(x) - 2$, e depois refletimos a parte que fica abaixo do eixo x para cima (por causa do módulo externo). O resultado é uma função com formato de "W", com dois vales em $y=0$ (nos pontos onde $h(x) = 2$, ou seja, $x=0$ e $x=4$) e um pico em $y=2$ (no ponto onde $h(x) = 0$, ou seja, $x=2$).

A função $g(x) = k$ é uma reta horizontal. O número de interseções entre $f$ e $g$ é o número de soluções da equação $||x-2|-2| = k$. Vamos analisar para cada valor de $k$:

• $k = 3$: A reta horizontal $y=3$ está acima do valor máximo de $f$, que é 2. Portanto, não há interseção. A alternativa A está incorreta.

• $k = 2$: A reta horizontal $y=2$ toca o pico da função em $x=2$ e também cruza os dois ramos laterais em dois pontos adicionais. Portanto, há exatamente 3 interseções. A alternativa B está correta.

• $k = 1$: A reta horizontal $y=1$ cruza cada um dos quatro ramos da função em um ponto, totalizando 4 interseções. A alternativa C está incorreta.

• $k = 0$: A reta horizontal $y=0$ toca os dois vales da função em $x=0$ e $x=4$, resultando em 2 interseções. A alternativa D está incorreta.

• $k = -1$: A reta horizontal $y=-1$ está abaixo do valor mínimo de $f$, que é 0. Portanto, não há interseção. A alternativa E está incorreta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que há quatro pontos de interseção quando $k=3$. Isso é falso porque o valor máximo de $f(x)$ é 2, então a reta $y=3$ não intersecta o gráfico em nenhum ponto. A confusão pode surgir se o aluno pensar que o gráfico se estende além do pico, mas o módulo externo limita a função ao intervalo $[0, 2]$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Correta porque quando $k=2$, a reta horizontal coincide com o pico da função em $y=2$, tocando-o em $x=2$, e também cruza os dois ramos laterais em dois pontos adicionais, totalizando exatamente três interseções. Isso pode ser verificado resolvendo a equação $||x-2|-2| = 2$, que tem três soluções reais.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que há dois pontos de interseção quando $k=1$. Isso é falso porque a reta $y=1$ cruza cada um dos quatro ramos da função em um ponto, resultando em 4 interseções. A confusão pode surgir se o aluno considerar apenas os pontos de máximo e mínimo, ignorando os ramos laterais.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que há um ponto de interseção quando $k=0$. Isso é falso porque a reta $y=0$ toca os dois vales da função em $x=0$ e $x=4$, resultando em 2 interseções. A confusão pode surgir se o aluno pensar que o vale é um ponto único, mas na verdade são dois pontos distintos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que há um ponto de interseção quando $k=-1$. Isso é falso porque o valor mínimo de $f(x)$ é 0, então a reta $y=-1$ está abaixo do gráfico e não o intersecta em nenhum ponto. A confusão pode surgir se o aluno não considerar que o módulo externo garante que a função é sempre não negativa.

Gabarito: letra B