Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — FGV 2024

Função exponencial aplicada: temperatura de equilíbrio

Gabarito: letra D — os valores são 31,3 °C e 18,5 °C. Quando o aparelho é ligado (t = 0), a exponencial vale 1 e a temperatura é 18,5 + 12,8 = 31,3 °C; com o passar do tempo, o termo exponencial tende a zero e a temperatura converge para 18,5 °C. A questão testa exatamente a leitura dos dois extremos da função do tipo exponencial $f(t) = b + c \cdot a^{t}$.

A função dada é $T(t) = 18{,}5 + 12{,}8 \cdot 0{,}5^{t/a}$. Ela é um caso particular da função do tipo exponencial $f(x) = b + c \cdot a^x$, em que $b$ e $c$ são constantes e $a$ é a base exponencial. O que a banca quer é que você identifique o papel de cada constante no comportamento da temperatura.

No instante inicial ($t = 0$), qualquer potência com expoente zero vale 1 (desde que a base seja diferente de zero). Assim, $0{,}5^{0/a} = 0{,}5^0 = 1$, e a temperatura é:

Esse é o valor de $T_0$: a temperatura da sala no momento em que o aparelho foi ligado.

Com o passar do tempo ($t \to +\infty$), a base $0{,}5$ está entre 0 e 1, então a potência $0{,}5^{t/a}$ decresce e se aproxima de zero — dizemos que o eixo horizontal é uma assíntota do gráfico exponencial. O termo $12{,}8 \cdot 0{,}5^{t/a}$ tende a zero, e a temperatura se aproxima cada vez mais de 18,5 °C, sem nunca ultrapassar esse valor. Esse é o $T_\infty$: a temperatura de equilíbrio para a qual a sala converge.

A pegadinha clássica aqui é inverter os papéis: achar que 18,5 °C é a temperatura inicial e 12,8 °C é a final. Mas 12,8 °C não é temperatura nenhuma — é apenas o coeficiente que multiplica a exponencial, ou seja, a diferença entre a temperatura inicial e a temperatura de equilíbrio. Perceba: $31{,}3 - 18{,}5 = 12{,}8$. O número 12,8 é a amplitude da variação, não um valor de temperatura.

Guarde a estrutura: em $f(t) = b + c \cdot a^t$ com $0 < a < 1$, o valor inicial é $b + c$ e o valor limite (assíntota) é $b$. É exatamente essa leitura que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $T_0 = 18{,}5$ °C e $T_\infty = 12{,}8$ °C. Erra nos dois valores: 18,5 °C é a temperatura de equilíbrio (não a inicial), e 12,8 °C não é temperatura — é o coeficiente que mede a variação total. A temperatura inicial é $18{,}5 + 12{,}8 = 31{,}3$ °C.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Diz que $T_0 = 18{,}5$ °C e $T_\infty = 31{,}3$ °C. Inverte completamente os papéis: coloca a temperatura inicial como sendo a de equilíbrio e vice-versa. O valor 31,3 °C é o inicial (quando a exponencial vale 1), e 18,5 °C é o limite para o qual a temperatura converge.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $T_0 = 31{,}3$ °C e $T_\infty = 12{,}8$ °C. Acerta o valor inicial, mas erra o limite: 12,8 °C não é a temperatura de equilíbrio, e sim a diferença entre a temperatura inicial e a final. O valor para o qual a temperatura converge é 18,5 °C.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $T_0 = 31{,}3$ °C e $T_\infty = 18{,}5$ °C. No instante $t=0$, $0{,}5^0 = 1$, logo $T(0) = 18{,}5 + 12{,}8 = 31{,}3$ °C. Quando $t \to +\infty$, $0{,}5^{t/a} \to 0$, e a temperatura tende a 18,5 °C. É exatamente o comportamento descrito.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Diz que $T_0 = 31{,}3$ °C e $T_\infty = 0$ °C. Acerta o valor inicial, mas o limite não é 0 °C: a exponencial tende a zero, mas ela está somada a 18,5 °C. O termo que tende a zero é $12{,}8 \cdot 0{,}5^{t/a}$; a temperatura final é 18,5 °C, não 0 °C.

Gabarito: letra D