Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — FGV 2024

Equações do 1º Grau e Números Inteiros

Gabarito: letra A. O menor valor inteiro positivo de $x$ que torna $N = \frac{3x-18}{4}$ um inteiro positivo é $x = 10$, cuja soma dos algarismos é $1 + 0 = 1$. A condição é que $3x - 18$ seja múltiplo positivo de 4, e o menor $x$ inteiro positivo que satisfaz isso é 10.

O problema combina dois conceitos: equação do 1º grau e divisibilidade. Temos a expressão $N = \frac{3x-18}{4}$, e sabemos que $N$ deve ser um número inteiro maior que zero. Isso significa que o numerador $3x - 18$ deve ser divisível por 4 e o resultado da divisão deve ser positivo.

Vamos analisar a condição de positividade primeiro. Para que $N > 0$, precisamos que $3x - 18 > 0$, ou seja, $3x > 18$, logo $x > 6$. Como $x$ é inteiro positivo, os candidatos começam em $x = 7$.

Agora, a condição de divisibilidade: $3x - 18$ deve ser múltiplo de 4. Vamos testar os valores de $x$ a partir de 7:

• $x = 7$: $3 \cdot 7 - 18 = 21 - 18 = 3$, que não é divisível por 4.

• $x = 8$: $3 \cdot 8 - 18 = 24 - 18 = 6$, que não é divisível por 4.

• $x = 9$: $3 \cdot 9 - 18 = 27 - 18 = 9$, que não é divisível por 4.

• $x = 10$: $3 \cdot 10 - 18 = 30 - 18 = 12$, que é divisível por 4 ($12 \div 4 = 3$).

Portanto, o menor valor de $x$ que satisfaz ambas as condições é $x = 10$. A soma dos algarismos de 10 é $1 + 0 = 1$.

Uma forma mais direta de pensar: queremos que $3x - 18$ seja um múltiplo positivo de 4. O menor múltiplo positivo de 4 é o próprio 4, mas $3x - 18 = 4$ daria $x = 22/3$, que não é inteiro. O próximo múltiplo é 8, que daria $x = 26/3$, também não inteiro. O múltiplo 12 dá $x = 30/3 = 10$, que é inteiro e positivo. Então $x = 10$ é o menor valor possível.

A pegadinha aqui é que muitos alunos podem testar apenas a condição de positividade ($x > 6$) e esquecer a divisibilidade, ou podem tentar resolver a equação $3x - 18 = 4$ diretamente, obtendo um valor não inteiro e se confundindo. O segredo é lembrar que $N$ pode ser qualquer inteiro positivo, não apenas 1, e que precisamos encontrar o menor $x$ que torne o numerador um múltiplo de 4.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O menor valor de $x$ é 10, e a soma de seus algarismos é $1 + 0 = 1$. Como vimos, $x = 10$ é o primeiro inteiro positivo que torna $3x - 18$ um múltiplo positivo de 4 ($3 \cdot 10 - 18 = 12$, e $12 \div 4 = 3$).

Alternativa B — ❌ Incorreta

A soma 2 corresponderia a valores como $x = 2$, $x = 11$ ou $x = 20$. $x = 2$ não satisfaz a condição de positividade ($N$ seria negativo), e $x = 11$ dá $3 \cdot 11 - 18 = 15$, que não é divisível por 4. Portanto, 2 não é a soma correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A soma 3 corresponderia a valores como $x = 3$, $x = 12$ ou $x = 21$. $x = 3$ não satisfaz a positividade, e $x = 12$ dá $3 \cdot 12 - 18 = 18$, que não é divisível por 4. Logo, 3 não é a resposta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A soma 4 corresponderia a valores como $x = 4$, $x = 13$ ou $x = 22$. $x = 4$ não satisfaz a positividade, e $x = 13$ dá $3 \cdot 13 - 18 = 21$, que não é divisível por 4. Portanto, 4 não é a soma correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A soma 5 corresponderia a valores como $x = 5$, $x = 14$ ou $x = 23$. $x = 5$ não satisfaz a positividade, e $x = 14$ dá $3 \cdot 14 - 18 = 24$, que é divisível por 4, mas $x = 10$ é menor que $x = 14$. Como a questão pede o menor valor possível, 5 não é a resposta.

Gabarito: letra A