Questão de Matemática — Triângulos: Conceito, Elementos e Classificação (Equilátero, Equiângulo, Isósceles, etc) — FGV 2024
Matemática›Triângulos: Conceito, Elementos e Classificação (Equilátero, Equiângulo, Isósceles, etc)
Código
fg164460
Banca
FGV
Órgão
Pref SL da Mata
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Os estudantes de um professor de Matemática estão fazendo uma atividade utilizando um software de Geometria Dinâmica, representada a seguir: Na sequência, o professor solicitou que os estudantes fixassem os pontos B e C, movimentassem o ponto A, marcassem as medidas dos lados AB e AC e dos ângulos do triângulo, para observarem o que aconteceria com o triângulo ABC construído a partir de um ponto da mediatriz, que não pertença ao segmento BC. O professor de Matemática pretendia explorar com essa atividade que
Aa medida de um lado do triângulo é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Ba soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Cum ponto da mediatriz de um segmento é equidistante aos extremos desse segmento.
Dum triângulo equilátero apresenta três lados congruentes.
Eo triângulo construído nessas condições é isósceles.
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GabaritoE — o triângulo construído nessas condições é isósceles.
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Mediatriz e triângulo isósceles
Gabarito: letra E. O ponto A, escolhido sobre a mediatriz do segmento BC, é equidistante de B e C, o que garante que os lados AB e AC sejam congruentes — e todo triângulo com dois lados iguais é isósceles. A alternativa E é a única que descreve exatamente a propriedade que o professor pretendia explorar com a atividade.
A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio. A propriedade fundamental da mediatriz é que todo ponto pertencente a ela está à mesma distância dos extremos do segmento. Ou seja, se A está na mediatriz de BC, então a distância de A até B é igual à distância de A até C: .
Quando o ponto A é movimentado ao longo da mediatriz (sem pertencer ao segmento BC), o triângulo ABC formado sempre terá dois lados congruentes — AB e AC —, pois ambos partem de A e chegam a B e C, que estão à mesma distância de A. Um triângulo com dois lados congruentes é, por definição, um triângulo isósceles. O lado BC é a base, e os ângulos da base (em B e em C) são congruentes.
A atividade explora justamente essa relação: ao fixar B e C e mover A sobre a mediatriz, o aluno observa que as medidas de AB e AC permanecem iguais, independentemente da posição de A. Isso evidencia a propriedade da mediatriz e sua consequência na classificação do triângulo quanto aos lados.
As demais alternativas apresentam propriedades verdadeiras dos triângulos, mas que não são o foco da atividade proposta. A alternativa C, por exemplo, afirma que um ponto da mediatriz é equidistante dos extremos — isso é verdade, mas é a propriedade da mediatriz, não a conclusão sobre o triângulo. A alternativa E é a que traduz essa propriedade em termos de classificação do triângulo, que é o objetivo pedagógico da atividade.
NÃO CAIA NESSA!
A banca coloca a alternativa C como uma afirmação verdadeira (e é!), mas ela descreve a propriedade da mediatriz, não o que o professor queria que os alunos observassem no triângulo. A pegadinha é confundir a causa (propriedade da mediatriz) com o efeito (triângulo isósceles). O enunciado pede "o que aconteceria com o triângulo ABC" — e a resposta é que ele é isósceles.
Caso
A na mediatriz de BC
AB = AC
Triângulo ABC é isósceles
Resultado
Caso 1 (A na mediatriz, fora de BC)
V
V
V
Consistente — conclusão correta
Caso 2 (A fora da mediatriz)
F
F
F
Inviável — não é o cenário da atividade
Caso 3 (A na mediatriz, mas BC = AB = AC)
V
V
V (também equilátero)
Consistente — caso particular, não garantido
Triângulo isósceles: Definição (Dois lados congruentes, Ângulos da base congruentes); Na atividade (A na mediatriz de BC, AB = AC (equidistância), BC é a base); Relação com mediatriz (Ponto equidistante dos extremos, Propriedade causa o efeito)
Alternativa A — ❌ Incorreta
A desigualdade triangular é uma propriedade válida de todo triângulo, mas não é o que a atividade explora. O professor não pediu para observar a relação entre os lados, e sim a consequência de A estar na mediatriz. A alternativa é verdadeira em si, mas não responde ao objetivo da atividade.
Alternativa B — ❌ Incorreta
A soma dos ângulos internos ser 180° é outra propriedade geral dos triângulos, mas não é o foco da atividade. O movimento de A sobre a mediatriz não altera essa soma, e o professor não pretendia explorar isso.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Esta é a propriedade da mediatriz em si: todo ponto da mediatriz é equidistante dos extremos do segmento. É verdadeira, mas é a causa do que se observa, não a conclusão sobre o triângulo. O professor queria que os alunos percebessem que, por causa dessa propriedade, o triângulo formado é isósceles.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Um triângulo equilátero tem três lados congruentes, mas o triângulo formado com A na mediatriz não é necessariamente equilátero — ele é isósceles. Para ser equilátero, seria preciso que BC também fosse congruente a AB e AC, o que só ocorre em um caso particular (quando A está a uma distância específica de B e C). A atividade não garante isso.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como A está na mediatriz de BC, temos . Portanto, o triângulo ABC possui dois lados congruentes, o que o caracteriza como isósceles. Essa é a conclusão que o professor pretendia que os alunos observassem ao movimentar o ponto A.
